Определение возрастающей и убывающей функции

Пусть \(y = f\left(x \right)\) является дифференцируемой функцией на интервале \(\left({a,b} \right).\) Функция называется возрастающей (или неубывающей ) на данном интервале, если для любых точек \({x_1},{x_2} \in \left({a,b} \right),\) таких, что \({x_1}
Если данное неравенство является строгим, т.е. \(f\left({{x_1}} \right) \lt f\left({{x_2}} \right),\) то говорят, что функция \(y = f\left(x \right)\) является строго возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right).\)

Аналогично определяются убывающая (или невозрастающая ) и строго убывающая функции.

Введенные понятия можно сформулировать в более компактной форме. Функция \(y = f\left(x \right)\) называется

• возрастающей (неубывающей
• строго возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right),\) если \[ {\forall\;{x_1},{x_2} \in \left({a,b} \right):\;} {{x_1}
• убывающей (невозрастающей ) на интервале \(\left({a,b} \right),\) если \[ {\forall\;{x_1},{x_2} \in \left({a,b} \right):\;} {{x_1}
• строго убывающей на интервале \(\left({a,b} \right),\) если \[ {\forall\;{x_1},{x_2} \in \left({a,b} \right):\;} {{x_1} Ясно, что неубывающая функция может содержать участки строгого возрастания и интервалы, где функция является постоянной. Схематически это иллюстрируется на рисунках \(1-4\).

  Рис.1		Рис.2

  Рис.3		Рис.4

  Если функция \(f\left(x \right)\) дифференцируема на интервале \(\left({a,b} \right)\) и принадлежит к одному из четырех рассмотренных типов (т.е. является возрастающей, строго возрастающей, убывающей или строго убывающей), то такая функция называется монотонной на данном интервале.

  Понятия возрастания и убывания функции можно определить также и для отдельной точки \({x_0}.\) В этом случае рассматривается малая \(\delta\)-окрестность \(\left({{x_0} - \delta ,{x_0} + \delta } \right)\) этой точки. Функция \(y = f\left(x \right)\) является строго возрастающей в точке \({x_0},\) если существует число \(\delta > 0,\) такое, что \[\forall\;x \in \left({{x_0} - \delta ,{x_0}} \right) \Rightarrow f\left(x \right) f\left({{x_0}} \right).\] Аналогичным образом определяется строгое убывание функции \(y = f\left(x \right)\) в точке \({x_0}.\)

  Критерий возрастания и убывания функции

  Снова рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) считая ее дифференцируемой на некотором интервале \(\left({a,b} \right).\) Возрастание или убывание функции на интервале определяется по знаку первой производной функции.

  Теорема 1 .
  Для того, чтобы функция \(y = f\left(x \right)\) была возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right),\) необходимо и достаточно, чтобы первая производная функции была неотрицательной всюду на данном интервале: \ Аналогичный критерий действует для случая функции, убывающей на интервале \(\left({a,b} \right):\) \ Докажем обе части теоремы (необходимость и достаточность) для случая возрастающей функции.

  Необходимое условие .
  Рассмотрим произвольную точку \({x_0} \in \left({a,b} \right).\) Если функция \(y = f\left(x \right)\) возрастает на \(\left({a,b} \right),\) то по определению можно записать, что \[\forall\;x \in \left({a,b} \right):x > {x_0} \Rightarrow f\left(x \right) > f\left({{x_0}} \right);\] \[\forall\;x \in \left({a,b} \right):x
  Рассмотрим достаточное условие , т.е. обратное утверждение.
  Пусть производная \(f"\left(x \right)\) функции \(y = f\left(x \right)\) неотрицательна на интервале \(\left({a,b} \right):\) \ Если \({x_1}\) и \({x_2}\) − две произвольные точки данного интервала, такие, что \({x_1}теореме Лагранжа можно записать: \ где \(c \in \left[ {{x_1},{x_2}} \right],\;\; \Rightarrow c \in \left({a,b} \right).\)

  Поскольку \(f"\left(c \right) \ge 0,\) то правая часть равенства неотрицательна. Следовательно, \ т.е. функция \(y = f\left(x \right)\) является возрастающей на интервале \(\left({a,b} \right).\)

  Рассмотрим теперь случаи строгого возрастания и строгого убывания функции. Здесь существует похожая теорема, описывающая необходимые и достаточные условия. Опуская доказательство, сформулируем ее для случая строго возрастающей функции.

  Теорема 2 .
  Для того, чтобы дифференцируемая на интервале \(\left({a,b} \right)\) функция была строго возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

  \(f"\left(x \right) \ge 0\;\forall\;x \in \left({a,b} \right);\)

  Производная \(f"\left(x \right)\) тождественно не равна нулю ни в каком промежутке \(\left[ {{x_1},{x_2}} \right] \in \left({a,b} \right).\)

  Условие \(1\) содержится в теореме \(1\) и является признаком неубывающей функции. Дополнительное условие \(2\) требуется для того, чтобы исключить участки постоянства функции, в которых производная функции \(f\left(x \right)\) тождественно равна нулю.

  На практике (при нахождении интервалов монотонности) обычно используется достаточное условие строгого возрастания или строгого убывания функции. Из теоремы \(2\) следует такая формулировка достаточного признака:

  Если для всех \(x \in \left({a,b} \right)\) выполняется условие \(f"\left(x \right) > 0\) всюду в интервале \(\left({a,b} \right),\) кроме возможно лишь некоторых отдельных точек, в которых \(f"\left(x \right) = 0,\) то функция \(f\left(x \right)\) является строго возрастающей .

  Соответственно, условие \(f"\left(x \right) строго убывающую функцию.

  Число точек, в которых \(f"\left(x \right) = 0,\) является, как правило, конечным. Согласно теореме \(2\), они не могут плотно заполнять какой-либо промежуток в интервале \(\left({a,b} \right).\)

  Приведем также признак строгого возрастания (убывания) функции в точке:

  Теорема 3 .
  Пусть \({x_0} \in \left({a,b} \right).\)

  Если \(f"\left({{x_0}} \right) > 0\), то функция \(f\left(x \right)\) строго возрастает в точке \({x_0}\);

  Если \(f"\left({{x_0}} \right)

  Свойства монотонных функций

  Возрастающие и убывающие функции обладают определенными алгебраическими свойствами, которые могут оказаться полезными при исследовании функций. Перечислим некоторые из них:

Опр.: Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Опр.: Функция называется убывающей на некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Как возрастающие. так и убывающие функции называются монотонными.

Если функция не является монотонной, то область ее определения можно разбить на конечное число промежутков монотонности, которые могут чередоваться с промежутками постоянства функции.

Монотонность функции y = f(x) характеризуется знаком ее первой производной f ¤ (x), а именно, если в некотором промежутке f ¤ (x) > 0, то функция возрастает в этом промежутке, если в некотором промежутке f ¤ (x) < 0, то функция убывает в этом промежутке.

Отыскание промежутков монотонности функции y = f(x) сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее первой производной f ¤ (x).

Отсюда получаем правило для нахождения промежутков монотонности функции y = f(x)

1. Найти нули и точки разрыва f ¤ (x).

2. Определить методом проб знак f ¤ (x) в промежутках, на которые полученные в п.1 точки делят область определения функции f(x).

Пример:

Найти промежутки монотонности функции у = - х 2 + 10х + 7

Найдем f ¤ (x). y¢ = -2х +10

Точка, в которой y¢ = 0 одна и она делит область определения функции на следующие промежутки: (– ∞,5) И (5 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда:

на промежутке (– ∞,5] y¢ > 0,

на промежутке функция возрастает, а на промежутке И (3 ,+ ∞), в каждом из которых y¢ сохраняет постоянный знак. Подставим в эти промежутки конкретные значения функции и определим знак y¢ на указанных промежутках, тогда.

Которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной . Монотонная функция - это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Определения

Пусть дана функция Тогда

. . . .

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими , а убывающие функции невозраста́ющими . Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций

Условия монотонности функции

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль . Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место

Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Примеры

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Монотонная функция" в других словарях:

Монотонная функция - — функция f(x), которая может быть либо возрастающей на некотором промежутке (то есть, чем больше любое значение аргумента на этом промежутке, тем больше значение функции), либо убывающей (в противоположном случае).… …

Функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает) … Большой Энциклопедический словарь

- (monotonie function) Функция, в которой по мере роста значения аргумента значение функции всегда изменяется в том же направлении. Следовательно, если у=f(x), то либо dy/dx > 0 для всех значений х, и в этом случае у является возрастающей… … Экономический словарь

- (от греч. monótonos однотонный) функция, приращения которой Δf(x) = f(x’) f(x) при Δx = x’ x > 0 не меняют знака, т. е. либо всегда неотрицательны, либо всегда неположительны. Выражаясь не совсем точно, М. ф. это функции, меняющиеся в… … Большая советская энциклопедия

Функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает). * * * МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ МОНОТОННАЯ ФУНКЦИЯ, функция, которая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или… … Энциклопедический словарь

Функция одного переменного, определенная на нек ром подмножестве действительных чисел, приращение к рой при не меняет знака, т. е. либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если строго больше (меньше) нуля, когда то М. ф. наз.… … Математическая энциклопедия

Функция, к рая при возрастании аргумента либо всегда возрастает (или хотя бы не убывает), либо всегда убывает (не возрастает) … Естествознание. Энциклопедический словарь

Это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств.… … Википедия

функция - Команда или группа людей, а также инструментарий или другие ресурсы, которые они используют для выполнения одного или нескольких процессов или деятельности. Например, служба поддержки пользователей. Этот термин также имеет другое значение:… … Справочник технического переводчика

Функция - 1. Зависимая переменная величина; 2. Соответствие y=f(x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение… … Экономико-математический словарь

Применение производной в исследовании функций.

§1. Возрастание и убывание функций.

Теорема (критерий монотонности дифференцируемой функции). Пусть функциянепрерывна напромежутке
и дифференцируема во всех его внутренних точках. Тогда:

Для монотонного возрастания функции необходимо и достаточно, чтобы в

0;

Для монотонного убывания функции необходимо и достаточно, чтобы в (а,в)
0;

Для постоянности функции необходимо и достаточно, чтобы в (а,в)
=0.

Док-во . Докажем достаточность для возрастающей функции. Выберем произвольно точки
. По теореме Лагранжа найдется точка

, такая что . Т.к. оба множителя в правой части неотрицательны, то
, т.е.
. Следовательно, функция является монотонно возрастающей.

Докажем необходимость для возрастающей функции. Пусть f(x ) – монотонно возрастает. Тогда
, следовательно
в (а,в).

Для убывающей функции доказательства аналогичны.

Докажем необходимость для постоянной функции. Если f (x )= const в (а,в), то
.

Докажем достаточность для постоянной функции. Пусть
в (a , b ) . Тогда тем более
в (a , b ) . Тогда по доказанному выше функция монотонно возрастает в (a , b ) , т.е. . С другой стороны, если
в (a , b ) , то тем более
в (a , b ) . Тогда по доказанному выше функция монотонно убывает в (a , b ) , т.е. . Одновременное выполнение этих условий возможно лишь при
.▲

Пример . Найти промежутки монотонности функции
.

Найдем производную
. Очевидно, что при производная
, функция является возрастающей. При
производная
, функция убывает.

§2. Экстремумы функции.

Пусть функция
задана на интервале
.

Опр . Точка называется точкой локального максимума функции f (x )
.

Опр . Точка называется точкой локального минимума функции f (x ) , если в некоторой ее окрестности выполняется условие:
.

Значения функции в точках локального минимума и максимума называют минимумом и максимумом функции. Минимум и максимум функции объединяют в понятие «экстремум функции»

(extr f ).

Отметить отличия локального и глобального экстремумов.

Теорема (необходимое условие локального экстремума). Еслидифференцируемаяфункция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:
.

Док-во. Если - точка экстремума дифференцируемой функции, то существует некоторая окрестность этой точки, в которой выполнены условия теоремы Ферма. Тогда ее производная
.

Замечание . Функция может иметь экстремум и в точках, в которых она не дифференцируема (если эти точки входят в область определения). Например, функция
имеет экстремум в точке х=0, но не дифференцируема в ней.

Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются стационарными или критическими точками. Из теоремы следует, что точки локального экстремума функции являются ее критическими точками. Обратное утверждение неверно. Например, функция
имеет неотрицательную производную, т.е. возрастает на всей числовой оси, следовательно не имеет точек экстремума. В то же время,
является ее критической точкой.

Теорема (достаточное условие локального экстремума). Если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет знак с «+» на «-», то - точка локального максимума, если с «-» на «+», то - точка локального минимума.

Док-во. В соответствии с достаточным условием монотонности, функция возрастает слева от и убывает справа, тогда в силу непрерывности функции, является точкой максимума. Аналогичные рассуждения для минимума.

Замечание . Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в этой точке экстремума функции нет.

Теорема (2 достаточное условие локального экстремума) . Для того, чтобы функция имела локальный максимум (минимум) в критической точке , достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки существовала непрерывная вторая производная и
(
).

(без док-ва).

Пример. Найти экстремумы функции
;

Ее производная:
.

Определим критические точки:
,
- критические точки.

Определим знак производной в окрестностях критических точек.

- точка минимума,
- минимум функции;

- точка максимума,
- максимум функции.

§3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

При решении прикладных задач бывает нужно найти глобальные экстремумы функции на некотором промежутке. Если этот промежуток является отрезком, то экстремумы функция может достигать как в точках экстремума, так и на концах отрезка.

Пример . Найти наибольшее значение функции
на отрезке
.

Решение . Данная функция является непрерывной на данном отрезке (т.к. знаменатель не обращается в нуль), а следовательно, может принимать экстремальные значения либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Вычислим производную:

. Тогда критическими точками являются точки х=0 и х=-2 . Данному отрезку принадлежит только точка х=0 . Вычислим значения функции в точке экстремума и на концах отрезка:

,
,
. Сравнивая эти значения, заключаем, что наибольшее значение функции достигается в точке х=0 .

§4. Выпуклость функции. Точки перегиба.

Опр. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой) на промежутке Х, если
. График выпуклой на промежутке Х функции расположен над любой ее секущей (и под любой ее касательной) на этом промежутке.

Аналогично вводится определение функции, выпуклой вниз (вогнутой).

выпуклая (вверх) вогнутая (выпуклая вниз)

Теорема (критерий выпуклости функции) . Пусть функция
дифференцируема в интервале (а,в) . Тогда для выпуклости функции вниз необходимо и достаточно, чтобы
монотонно возрастала на этом интервале. Для выпуклости функции вверх необходимо и достаточно, чтобы
монотонно убывала на этом интервале.

Следствие (достаточное условие выпуклости) . Если вторая производная дважды дифференцируемой функции неотрицательна (неположительна) внутри некоторого промежутка, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Опр . Точки, в которых график функции меняет направление выпуклости, называются точками перегиба графика функции.

Абсциссы точек перегиба являются точками экстремума первой производной.

Теорема (необходимое условие точки перегиба ). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю:
.

Абсциссы точек, в которых выполняется необходимое условие, называются критическими точками второго рода . Если перегиб графика есть, то только в таких точках.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть
- дважды дифференцируема в интервале (а,в) . Тогда если вторая производная при переходе через критическую точку второго рода меняет знак, то точка
является точкой перегиба графика функции.

Замечание . Если смены знака второй производной не происходит, то перегиба графика в точке нет.

Пример.
,
;
- точка перегиба.

Итак, чтобы найти интервалы выпуклости функции, нужно:

1. Найти вторую производную функции.

2. Найти точки, в которых
или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод о направлении выпуклости и точках перегиба на основании достаточных условий.

§5. Асимптоты графика функции.

Графики некоторых функций расположены на плоскости так, что при неограниченном удалении от начала координат они неограниченно приближаются к некоторым прямым, но не пересекают их. Такие прямые называются асимптотами функции.

Асимптоты могут быть горизонтальными, вертикальными, наклонными.

Прямая y = a называется горизонтальной асимптотой к графику функции y = f (x )
.

Прямая x = b называется вертикальной асимптотой к графику функции y = f (x ) , если существует конечный предел
.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах области определения.

Если у функции нет горизонтальных асимптот, то, возможно, есть наклонные.

Наклонная асимптота к графику функции существует в том случае, когда существуют конечные числа к и в , вычисляемые по формулам:

,
. Тогда наклонная асимптота задается уравнением y = kx + b . Если хотя бы одно из чисел к и в несобственное, то наклонных асимптот у графика функции нет.

§6. Общая схема исследования функции.

I . 1. Область определения.

2. Точки пересечения с осями координат.

3. Четность.

4. Периодичность.

5. непрерывность.

6. Асимптоты.

II . 7. Монотонность.

8. Точки экстремума, экстремумы.

10. Точки перегиба графика.

IV .11. Дополнительные точки.

12. Построение графика.

Теорема о пределе монотонной функции. Приводится доказательство теоремы, используя два метода. Также даны определения строго возрастающей, неубывающей, строго убывающей и невозрастающей функций. Определение монотонной функции.

Содержание

Функция не ограничена сверху

1.1. Пусть число b конечное: .
1.1.2. Пусть функция не ограничена сверху.

.

при .

Обозначим . Тогда для любого существует , так что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов функции в конечной точке»).

b рано плюс бесконечности

Функция ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2.1. Пусть функция ограничена сверху числом M : при .
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция ограничена сверху, то существует конечная верхняя грань
.
Согласно определению точной верхней грани, выполняются следующие условия:
;
для любого положительного существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при . Или
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует число , так что
при .
«Определения односторонних пределов на бесконечности»).

Функция не ограничена сверху

1. Пусть функция не убывает на интервале .
1.2. Пусть число b равно плюс бесконечности: .
1.2.2. Пусть функция не ограничена сверху.
Докажем, что в этом случае существует предел .

Поскольку функция не ограничена сверху, то для любого числа M существует такой аргумент , для которого
.

Поскольку функция не убывает, то при . Тогда при .

Итак, для любого существует число , так что
при .
Это означает, что предел при равен (см. «Определения односторонних бесконечных пределов на бесконечности»).

Функция не возрастает

Теперь рассмотрим случай, когда функция не возрастает. Можно, как и выше, рассмотреть каждый вариант по отдельности. Но мы охватим их сразу. Для этого используем . Докажем, что в этом случае существует предел .

Рассмотрим конечную нижнюю грань множества значений функции:
.
Здесь B может быть как конечным числом, так и бесконечно удаленной точкой . Согласно определению точной нижней грани, выполняются следующие условия:
;
для любой окрестности точки B существует такой аргумент , для которого
.
По условию теоремы, . Поэтому .

Поскольку функция не возрастает, то при . Поскольку , то
при .
Или
при .
Далее замечаем, что неравенство определяет левую проколотую окрестность точки b .

Итак, мы нашли, что для любой окрестности точки , существует такая проколотая левая окрестность точки b , что
при .
Это означает, что предел слева в точке b равен :

(см. универсальное определение предела функции по Коши).

Предел в точке a

Теперь покажем, что существует предел в точке a и найдем его значение.

Рассмотрим функцию . По условию теоремы, функция является монотонной при . Заменим переменную x на - x (или сделаем подстановку , а затем заменим переменную t на x ). Тогда функция является монотонной при . Умножая неравенства на -1 и меняя их порядок приходим к выводу, что функция является монотонной при .

Аналогичным способом легко показать, что если не убывает, то не возрастает. Тогда согласно доказанному выше, существует предел
.
Если не возрастает, то не убывает. В этом случае существует предел
.

Теперь осталось показать, что если существует предел функции при , то существует предел функции при , и эти пределы равны:
.

Введем обозначение:
(1) .
Выразим f через g :
.
Возьмем произвольное положительное число . Пусть есть эпсилон окрестность точки A . Эпсилон окрестность определяется как для конечных, так и для бесконечных значений A (см. «Окрестность точки»). Поскольку существует предел (1), то, согласно определению предела, для любого существует такое , что
при .

Пусть a - конечное число. Выразим левую проколотую окрестность точки -a , используя неравенства:
при .
Заменим x на -x и учтем, что :
при .
Последние два неравенства определяют проколотую правую окрестность точки a . Тогда
при .

Пусть a - бесконечное число, . Повторяем рассуждения.
при ;
при ;
при ;
при .

Итак, мы нашли, что для любого существует такое , что
при .
Это означает, что
.

Теорема доказана.

См. также: