Для нахождения определенного интеграла методом трапеций площадь криволинейной трапеции также разбивается на n прямоугольных трапеций с высотами h и основаниями у 1 , у 2 , у 3 ,..у n , где n - номер прямоугольной трапеции. Интеграл будет численно равен сумме площадей прямоугольных трапеций (рисунок 4).

Рис. 4

n - количество разбиений

Погрешность формулы трапеций оценивается числом

Погрешность формулы трапеций с ростом уменьшается быстрее, чем погрешность формулы прямоугольников. Следовательно, формула трапеций позволяет получить большую точность, чем метод прямоугольников.

Формула Симпсона

Если для каждой пары отрезков построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его на отрезке и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона.

В методе Симпсона для вычисления определенного интеграла весь интервал интегрирования разбивается на подинтервалы равной длины h=(b-a)/n. Число отрезков разбиения является четным числом. Затем на каждой паре соседних подинтервалов подинтегральная функция f(x) заменяется многочленом Лагранжа второй степени (рисунок 5).

Рис. 5 Функция y=f(x) на отрезке заменяется многочленом 2-го порядка

Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке. Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с y= в точках:

Проинтегрируем на отрезке.:

Введем замену переменных:

Учитывая формулы замены,

Выполнив интегрирование, получим формулу Симпсона:

Полученное для интеграла значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью, прямыми, и параболой, проходящей через точки На отрезке формула Симпсона будет иметь вид:

В формуле параболы значение функции f(x) в нечетных точках разбиения х 1 , х 3 , ..., х 2n-1 имеет коэффициент 4, в четных точках х 2 , х 4 , ..., х 2n-2 - коэффициент 2 и в двух граничных точках х 0 =а, х n =b - коэффициент 1.

Геометрический смысл формулы Симпсона: площадь криволинейной трапеции под графиком функции f(x) на отрезке приближенно заменяется суммой площадей фигур, лежащих под параболами.

Если функция f(x) имеет на непрерывную производную четвертого порядка, то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем

где М - наибольшее значение на отрезке . Так как n 4 растет быстрее, чем n 2 , то погрешность формулы Симпсона с ростом n уменьшается значительно быстрее, чем погрешность формулы трапеций.

Вычислим интеграл

Этот интеграл легко вычисляется:

Возьмем n равным 10, h=0.1, рассчитаем значения подынтегральной функции в точках разбиения, а также полуцелых точках.

По формуле средних прямоугольников получим I прям =0.785606 (погрешность равна 0.027%), по формуле трапеций I трап =0.784981 (погрешность около 0,054. При использовании метода правых и левых прямоугольников погрешность составляет более 3%.

Для сравнения точности приближенных формул вычислим еще раз интеграл

но теперь по формуле Симпсона при n=4. Разобьем отрезок на четыре равные части точками х 0 =0, х 1 =1/4, х 2 =1/2, х 3 =3/4, х 4 =1 и вычислим приближенно значения функции f(x)=1/(1+x) в этих точках: у 0 =1,0000, у 1 =0,8000, у 2 =0,6667, у 3 =0,5714, у 4 =0,5000.

По формуле Симпсона получаем

Оценим погрешность полученного результата. Для подынтегральной функции f(x)=1/(1+x) имеем: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , откуда следует, что на отрезке . Следовательно, можно взять М=24, и погрешность результата не превосходит величины 24/(2880 4 4)=0.0004. Сравнивая приближенное значение с точным, заключаем, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле Симпсона, меньше 0,00011. Это находится в соответствии с данной выше оценкой погрешности и, кроме того, свидетельствует, что формула Симпсона значительно точнее формулы трапеций. Поэтому формулу Симпсона для приближенного вычисления определенных интегралов используют чаще, чем формулу трапеций.

Кафедра «Высшей математики»

Выполнил: Матвеев Ф.И.

Проверила: Бурлова Л.В.

Улан-Удэ.2002

1.Численные методы интегрирования

2.Вывод формулы Симпсона

3.Геометрическая иллюстрация

4.Выбор шага интегрирования

5.Примеры

1. Численные методы интегрирования

Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла

посредством ряда значений подынтегральной функции .

Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной.

Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры.

Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции.

Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции

полиномом степени . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие.

Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции

сплайном-кусочным полиномом.

В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов.

Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.

суммарная погрешность погрешность усечения

погрешность округления

Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества

разбиений отрезка

. Однако при этом возрастает погрешность округления

за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках.

Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины

частичного отрезка.

2. Вывод формулы Симпсона

Если для каждой пары отрезков

построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона. Рассмотрим подынтегральную функцию на отрезке . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с в точках :

Проинтегрируем

:

и называется формулой Симпсона.

Полученное для интеграла

значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми , и параболой, проходящей через точки

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у

на отрезке существуют непрерывные производные . Составим разность

К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку

непрерывна на и функция неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором (то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому:

(мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку

- непрерывная функция; ).

Дифференцируя

дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для другое выражение: , где

Из обеих оценок для

следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде: , .

Если отрезок

интегрирования слишком велик, то его разбивают на равных частей (полагая ), после чего к каждой паре соседних отрезков , ,..., применяют формулу Симпсона, именно:

Запишем формулу Симпсона в общем виде.

При вычислении определенного интеграла не всегда получаем точное решение. Не всегда удается представление в виде элементарной функции. Формула Ньютона-Лейбница не подходит для вычисления, поэтому необходимо использовать методы численного интегрирования. Такой метод позволяет получать данные с высокой точностью. Метод Симпсона является таковым.

Для этого необходимо дать графическое представление выведению формулы. Далее идет запись оценки абсолютной погрешности при помощи метода Симпсона. В заключении произведем сравнение трех методов: Симпсона, прямоугольников, трапеций.

Метод парабол – суть, формула, оценка, погрешности, иллюстрации

Задана функция вида y = f (x) , имеющая непрерывность на интервале [ a ; b ] , необходимо произвести вычисление определенного интеграла ∫ a b f (x) d x

Необходимо разбить отрезок [ a ; b ] на n отрезков вида x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n с длиной 2 h = b - a n и точками a = x 0 < x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Каждый интервал x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n подынтегральной функции приближен при помощи параболы, заданной y = a i x 2 + b i x + c i , проходящей через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) . Поэтому метод и имеет такое название.

Данные действия выполняются для того, чтобы интеграл ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x взять в качестве приближенного значения ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Можем вычислить при помощи формулы Ньютона-Лейбница. Это и есть суть метода парабол.Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)

При помощи красной линии изображается график функции y = f (x) , синей – приближение графика y = f (x) при помощи квадратичных парабол.

Исходя из пятого свойства определенного интеграла получаем ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Для того чтобы получить формулу методом парабол, необходимо произвести вычисление:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Пусть x 2 i - 2 = 0 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Изобразим, что через точки с координатами x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить одна квадратичная парабола вида y = a i x 2 + b i x + c i . Иначе говоря, необходимо доказать, что коэффициенты могут определяться только единственным способом.

Имеем, что x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) являются точками параболы, тогда каждое из представленных уравнений является справедливым. Получаем, что

a i (x 2 i - 2) 2 + b i · x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i · x 2 i - 1 + c i = f (x 2 i - 1) a i (x 2 i) 2 + b i · x 2 i + c i = f (x 2 i)

Полученная система разрешается относительно a i , b i , c i , где необходимо искать определитель матрицы по Вандермонду. Получаем, что

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 , причем он считается отличным от нуля и не совпадает с точками x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Это признак того, что уравнение имеет только одно решение, тогда и выбранные коэффициенты a i ; b i ; c i могут определяться только единственным образом, тогда через точки x 2 i - 2 ; f (x 2 i - 2) , x 2 i - 1 ; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) может проходить только одна парабола.

Можно переходить к нахождению интеграла ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x .

Видно, что

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i · 0 2 + b i · 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i · h 2 + b i · h + c i f (x 2 i) = f (0) = 4 a i · h 2 + 2 b i · h + c i

Для осуществления последнего перехода необходимо использовать неравенство вида

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Значит, получаем формулу, используя метод парабол:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) + . . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Определение 1

Формула метода Симпсона имеет вид ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Формула оценки абсолютной погрешности имеет вид δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом парабол

Метод Симпсона предполагает приближенное вычисление определенных интегралов. Чаще всего имеются два типа задач, для которых применим данный метод:

• при приближенном вычислении определенного интеграла;
• при нахождении приближенного значения с точностью δ n .

На точность вычисления влияет значение n , чем выше n , тем точнее промежуточные значения.

Пример 1

Вычислить определенный интеграл ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 при помощи метода Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение

По условию известно, что a = 0 ; b = 5 ; n = 5 , f (x) = x x 4 + 4 .

Тогда запишем формулу Симпсона в виде

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Чтобы применить ее в полной мере, необходимо рассчитать шаг по формуле h = b - a 2 n , определить точки x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n и найти значения подынтегральной функции f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Промежуточные вычисления необходимо округлять до 5 знаков. Подставим значения и получим

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 · 5 = 0 . 5

Найдем значение функции в точках

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 5 0 . 5 4 + 4 ≈ 0 . 12308 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0 . 00795

Наглядность и удобство оформляется в таблице, приведенной ниже

i	0	1	2	3	4	5
x i	0	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Необходимо подставить результаты в формулу метода парабол:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = 0 . 5 3 0 + 4 · 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 + + 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0 . 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Для вычисления мы выбрали определенный интеграл, который можно вычислить по Ньютону-Лейбницу. Получим:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Ответ: Результаты совпадают до сотых.

Пример 2

Вычислить неопределенный интеграл ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x при помощи метода Симпсона с точностью до 0 , 001 .

Решение

По условию имеем, что а = 0 , b = π , f (x) = sin 3 x 2 + 1 2 , δ n ≤ 0 . 001 . Необходимо определить значение n . Для этого используется формула оценки абсолютной погрешности метода Симпсона вида δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Когда найдем значение n , то неравенство m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 будет выполняться. Тогда, применив метод парабол, погрешность при вычислении не превысит 0 . 001 . Последнее неравенство примет вид

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Теперь необходимо выяснить, какое наибольшее значение может принимать модуль четвертой производной.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " (x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Область определения f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 принадлежит интервалу - 81 16 ; 81 16 , а сам отрезок интегрирования [ 0 ; π) имеет точку экстремума, из этого следует, что m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Производим подстановку:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Получили, что n – натуральное число, тогда его значение может быть равным n = 5 , 6 , 7 … для начала необходимо взять значение n = 5 .

Действия производить аналогично предыдущему примеру. Необходимо вычислить шаг. Для этого

h = b - a 2 n = π - 0 2 · 5 = π 10

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n , тогда значение подынтегральной функции будет иметь вид

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0 . 953990 . . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0 . 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Осталось подставить значения в формулу решения методом парабол и получим

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) = = π 30 · 0 , 5 + 4 · 0 . 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 + + 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 · 1 . 309017 + 1 . 451056 + + 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Метод Симпсона позволяет нам получать приближенное значение определенного интеграла ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237 с точностью до 0 , 001 .

При вычислении формулой Ньютона-Лейбница получим в результате

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 · 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2 . 237463

Ответ: ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

Замечание

В большинстве случаях нахождение m a x [ a ; b ] f (4) (x) проблематично. Поэтому применяется альтернатива – метод парабол. Его принцип подробно разъясняется в разделе метода трапеций. Метод парабол считается предпочтительным способом для разрешения интеграла. Вычислительная погрешность влияет на результат n . Чем меньше его значение, тем точнее приближенное искомое число.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Возникает задача о численном вычислении определенного интеграла, решаемая с помощью формул, носящих название квад­ратурных.

Напомним простейшие формулы численного интегрирования.

Вычислим приближенное численное значение . Интервал интегрирования [а, b] разобьем на п равных частей точками деле­ния
, называемыми узлами квадра­турной формулы. Пусть в узлах известны значения
:

Величина

называется интервалом интегрирования или шагом. Отметим, что в практике -вычислений число я выбирают небольшим, обычно оно не больше 10-20.На частичном интервале

подынтегральную функцию заменяют интерполяционным много­членом

который на рассматриваемом интервале приближенно представ­ляет функцию f (х).

а) Удержим в интерполяционном многочлене только один первый член, тогда

Полученная квадратная формула

называется формулой прямоугольников.

б) Удержим в интерполяционном многочлене два первых члена, тогда

(2)

Формула (2) называется формулой трапеций.

в) Интервал интегрирования
разобьем на четное число 2n равных частей, при этом шаг интегрирования h будет равен. На интервале
длиной 2h подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй сте­пени, т. е. удержим в многочлене три первых члена:

Полученная квадратурная формула называется формулой Симп­сона

(3)

Формулы (1), (2) и (3) имеют простой геометрический смысл. В формуле прямоугольников подынтегральная функция f(х) на интервале
заменяется отрезком прямой у = ук, параллельной оси абсцисс, а в формуле трапеций - отрезком прямой
и вычисляется соответственно площадь прямо­угольника и прямолинейной трапеции, которые затем сумми­руются. В формуле Симпсона функция f(х) на интервале
длиной 2h заменяется квадратным трехчленом - параболой
вычисляется площадь криволинейной параболической трапеции, затем площади суммируются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы.

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл.

По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;

через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа

через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа

через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Как следует из теоремы, условие непрерывности функции яв­ляется достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функ­ций, имеющих конечное число точек разрыва.

Вычис­ление определенного интеграла от непрерывной функции с по­мощью формулы Ньютона-Лейбница сводится к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда явля­ется элементарной функцией или функцией, для которой состав­лены таблицы, дающие возможность получить значение интеграла. В многочисленных приложениях интегрируемая функция зада­ется таблично и формула Ньютона - Лейбница непосредственно неприменима.

Если необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона .

Из выше изученного можно сделать следующий вывод, что интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.

Метод трапеций

Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

Метод трапеций заключается в замене интеграла суммой:

Абсолютная погрешность приближения, полученного по формуле трапеций, оценивается с помощью формулы, где.

Метод парабол (метод Симпсона)

а) Через любые три точки с координатами проходит только одна парабола.

б) Выразим площадь под параболой на отрезке через:

Учитывая значения и из пункта а) следует:

в) Разобьем отрезок на равных частей при помощи точек:

Метод парабол заключается в замене интеграла суммой:

Для приближенных практических расчетов применяется формула:

Абсолютная погрешность вычисления по формуле (4) оценивается соотношением, где.

Оценка точности вычисления «неберущихся» интегралов

В данной работе вычисление абсолютной и относительной погрешности проводится при условии, что известно точное значение определенного интеграла. Однако не всякая первообразная, даже тогда, когда она существует, выражается в конечном виде через элементарные функции. Таковы первообразные, выраженные интегралами, и т.д. Во всех подобных случаях первообразная представляет собой некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций.

Определенные интегралы от таких функций можно вычислить только приближенно. Для оценки точности вычисления в таких случаях используют, например, правило Рунге. В данном случае интеграл вычисляется по выбранной формуле (прямоугольников, трапеций, парабол Симпсона) при числе шагов, равном n, а затем при числе шагов, равном. Погрешность вычисления значения интеграла при числе шагов, равном, вычисляется по формуле Рунге:, для формул прямоугольников и трапеций, а для формулы Сипсона. Таким образом, интеграл вычисляется для последовательных значений числа шагов, ..., где - начальное число шагов. Процесс вычислений заканчивается, когда для очередного значения будет выполнено условие, где - заданная точность.

Для того чтобы не вычислять один и тот же интеграл по нескольку раз для разных разбиений отрезка интегрирования, можно вычислить шаг интегрирования заранее.

Пример. Выбрать шаг интегрирования для вычисления интеграла с точностью 0,01 пользуясь квадратурными формулами прямоугольников, трапеций, Симпсона.

Квадратурная формула прямоугольников.

Вычислим, при каком шаге погрешность будет составлять 0,01:

подынтегральный трапеция парабола неберущийся

Поскольку, то.

При шаге отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Квадратурная формула трапеций.

Поскольку, .

При шаге,отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Квадратурная формула Симпсона.

Вычислим, при каком шаге погрешность составит 0,01:

При шаге, отрезок разбивается на равностоящих узлов.

Как и следовало ожидать, наименьшее количество равностоящих узлов получается при вычислении интеграла по квадратурной формуле Симпсона.

Студенту предлагается работа, состоящая из четырех этапов:

• 1 этап - точное вычисление определенного интеграла.
• 2 этап - приближенное вычисление определенного интеграла одним из методов: прямоугольников или трапеций.
• 3 этап - приближенное вычисление определенного интеграла методом парабол.

4 этап - расчет и сравнение абсолютной и относительной ошибок приближенных методов: , где - точное решение интеграла, - значение интеграла, полученное с помощью приближенных методов.

Построение графика подынтегральной функции.

Варианты и образец выполнения РГР приведены ниже.

Варианты

№ варианта

Образец выполнения РГР

Задание. Вычислить интеграл

1. Точное вычисление:

2. Приближенное вычисление с помощью формул прямоугольников:

Составим таблицу:

По первой формуле прямоугольников получаем:

0,1 = 0,1·3,062514 = 0,306251.

По второй формуле прямоугольников получаем:

0,1 = 0,1· 4,802669 = 0,480267.

В данном случае первая формула дает значение интеграла с недостатком, вторая - с избытком.

3. Приближенное вычисление по формуле трапеций:

В нашем случае получаем:

0,1 = =0,1 = 0,1·4,095562 = =0,409556.

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

4. Приближенное вычисление по формуле Симпсона:

В нашем случае получаем:

Вычислим относительную и абсолютную погрешности.

В действительности, = 0,40631714.

Таким образом, при разбиении отрезка на 10 частей по формуле Симпсона мы получили 5 верных знаков; по формуле трапеций - три верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак.