Взаимно корреляционная функция (ВКФ) представляет собой оценку корреляционных свойств между двумя случайными процессами и , представленными наблюдениями поля на двух профилях, на двух трассах и т.д.

Рассчитывается ВКФ по формуле:

(4.7)

где n - число точек в каждой реализации, т.е. по каждому профилю, трассе и т.д.

И - средние значения наблюденных данных по этим профилям, трассам.

При равенстве средних значений нулю: формула (4.7) упрощается

(4.8)

При m =0 значение ВКФ равно произведению значений поля для одноименных дискретов наблюдений по профилям, трассам и т.д.

При значение ВКФ равно произведению значений поля, смещенных на один дискрет. При этом будем полагать, что смещение на один дискрет влево последующего профиля, т.е. , относительно предыдущего, т.е. , соответствует положительному смещению, т.е. , а смещение вправо соответствует величине .

Поскольку при и при перемножаются разные значения поля, в отличие от расчета АКФ, то ВКФ не является четной функцией, т.е. .

При значение ВКФ равно произведению значений поля, смещенных уже на два дискрета и т.д.

На практике часто используется нормированная ВКФ, определяемая как (4.8)

где и - среднеквадратические отклонения значений поля для первого и второго профиля трассы.

ВКФ нашла применение при решении трех основных задач обработки геофизических данных:

1) Оценка корреляционных свойств сигнала при условии некоррелированности помехи между профилями, трассами и незначительном изменении формы сигнала от профиля к профилю (от трассы к трассе), что обычно выполняется на практике, поскольку расстояние между профилями выбирается таким образом, чтобы сигналы коррелировались между профилями, а помехи, наоборот, были бы некоррелированы. В сейсморазведке расстояния между сейсмоприемниками выбираются таким образом, чтобы нерегулярные волны-помехи были бы некоррелированы между соседними трассами. При этом ВКФ будет равна

т.е. при совпадении формы сигналов последняя сумма будет равна АКФ сигнала.

Следовательно, ВКФ более надежно оценивает корреляционные свойства сигнала по сравнению с АКФ.

2) Оценка простирания сигналов по положительным экстремумам ВКФ. Положительные экстремумы ВКФ указывают на наличие корреляции сигнала между профилями, трассами, поскольку значение аргумента , при котором достигается экстремум ВКФ, соответствует смещению сигнала на последующем профиле относительно его положения на предыдущем. Таким образом, по величине положительных экстремумов ВКФ определяется смещение сигнала от профиля к профилю, что и приводит к оценке простирания сигнала.

В случае сигналов (аномалий) различного простирания ВКФ имеет два или более положительных экстремумов.

На рис.4.2,а приведены результаты наблюдений физического поля по пяти профилям и соответствующие этим наблюдениям графики ВКФ, по которым определяется простирание сигналов, соответствующее их смещению на два дискрета от профиля к профилю.

В случае интерференции двух сигналов, как это изображено на рис.4.2,б, фиксируются два положительных экстремума при и , что в дальнейшем при суммировании данных по нескольким профилям в направлении простирания сигналов позволяет четко провести их разделение по площади съемки.

Наконец, резкое смещение экстремумов ВКФ для какой-либо пары профилей по сравнению с экстремумами соседних пар профилей позволяет использовать ВКФ для выделения нарушений в распределении поля, как это показано на рис.4.2,в. По такому смещению экстремумов ВКФ обычно картируются разломы с простиранием, близким к простиранию профилей геофизической съемки.

При обработке сейсмических записей построение ВКФ между данными соседних трасс обеспечивает оценку суммарной статической и кинематической поправок, определяемую абсциссой положительного экстремума ВКФ. При знании кинематики, т.е. скоростной характеристики временного разреза, нетрудно определить величину статической поправки.

В системах передачи информации очень часто возникает необходимость в сигналах со специально выбранными свойствами. При этом выбор сигналов диктуется не технической простотой их генерирования и преобразования, а возможностью оптимального решения поставленной задачи. К таким задачам обычно относят синхронизацию, распознавание, измерения, повышение скрытности и помехозащищённости и т.п.

Точность решения этих задач определяется степенью отличия друг от друга сигнала s(t) и его «копии» s(t-x), смещенной во времени .

Для количественной оценки степени различия сигналов s(t) и s(t- т) применяют автокорреляционную функцию (АКФ) В(т) сигнала s(t). Ее определяют как скалярное произведение сигнала и его задержанной копии:

Если s(t) носит импульсный характер, то этот интеграл заведомо существует.

Основные свойства автокорреляционной функции:

1. - при т =0 АКФ равна энергии сигнала.

2. - т.е. АКФ является чётной функцией.

3. - при любом т модуль АКФ не превосходит энергии сигнала.

В качестве примера рассмотрим вид АКФ прямоугольного видеоимпульса с амплитудой U и длительностью т н (рис. 1.13).

Рис. 1.13. АКФ прямоугольного импульса На рис. 1.13 затененные области показывают наложение сигналов, при котором произведение s(t)s(t-i) отлично от нуля. Это будет при |т|

Таким образом, АКФ является симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. В зависимости от вида сигнала s(t) АКФ убывает монотонно или колебательно.

АКФ сигнала тесно связана с распределением его энергии по спектру частот соотношением

Можно оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже по времени АКФ. Сигнал с узкой АКФ лучше с точки зрения возможности точного измерения момента совпадения двух одинаковых по форме сигналов x(t-ij) и x(t-x) при изменении задержки ij. При проектировании современных систем радиосвязи сигнал выбирают широкополосным.

В принципе можно решать задачу синтеза сигнала с заданными корреляционными свойствами. Примером сигналов с наилучшей структурой АКФ могут служить дискретные сигналы (коды) Баркера, комплементарные коды и другие сложные сигналы. Корреляционные свойства этих сигналов оптимальны применительно к решению задачи обнаружения сигнала и измерения его параметров в радиолокации, в радиосвязи и других областях.

Два сигнала x(t) и y(t) могут отличаться как по своей форме, так и взаимным расположением на оси времени. Для оценки этих различий применяют взаимно корреляционную функцию (ВКФ) В ху (х). ВКФ двух вещественных сигналов x(t) и y(t) определяется как скалярное произведение вида

Свойства взаимно корреляционной функции сигналов с ограниченной энергией:

1. В ху (0) не обязательно является максимальным значением

2. - энергии сигналов хиу.

3. При перемене порядка индексации в обозначении ВКФ и соблюдении формы записи, указанной в выражении (31), происходит инверсия графика ВКФ относительно оси ординат х = О

4. (как и для АКФ)

АКФ является частным случаем ВКФ.

Корреляционная функция сигнала с неограниченной энергией.

Для таких сигналов определение АКФ по формуле (1.31) невозможно в силу бесконечности их энергии. К таким сигналам можно отнести периодические сигналы. Энергетическую оценку моделей таких сигналов проводят вводя среднюю удельную мощность

где Т - произвольный временной интервал.

Для периодических сигналов, энергия которых бесконечно велика по определению, усреднение удобно проводить по периоду Т

Для гармонического сигнала x(t) = Ucoscoot средняя удельная мощность Р = U 2 /2. Применяя формулу (33) к периодическому сигналу x ncp (t), представленному в видеряда Фурье

и принимая во внимание условие ортогональности

и

для средней мощности Р такого сигнала получим

Полная средняя мощность периодического сигнала равна сумме средних мощностей составляющих сигнал гармоник, включая, естественно, мощность постоянной составляющей (нулевой гармоники).

Для непрерывного и периодического сигнала АКФ определяется по формуле

с усреднением по бесконечному интервалу Т.

Для гармонического сигнала АКФ имеет вид

В отличие от АКФ и ВКФ финитных сигналов, АКФ периодической функции сама является периодической функцией и имеет размерность мощности. Значения аргумента т, для которых В(т) = 0, Определяют временные сдвиги сигнала и его копии, при которых корреляция отсутствует. Значение В(0) периодического сигнала численно равно мощности сигнала; для гармонического сигнала В(0) = U 2 /2.

Взаимная корреляция решает задачу о зависимости аномальных графиков, построенных по параллельным профилям или по наблюдениям, выполненных различными приборами, в разное время и пр. Меру зависимости выражает интеграл

R xy (t )= , (11.13)

где t ‑ сдвиг по графику второй функции.

Функция, вычисленная по дискретным значениям поля на двух соседних профилях, носит название взаимно корреляционной (ВКФ) и вычисляется по формуле

В(m) =

где Z i (x i) – значение поля на первом профиле в точке x i ; Z 2 (x i + m ) – значение поля на втором профиле в точке i+ m ; и – средние значения поля на соседних профилях.

В итоге взаимной корреляции может быть трассировано вытянутое вкось к профилям аномальное тело. Корреляция карт магнитных аномалий с различными геофизическими и геологическими картами часто производится визуально. Межпрофильная корреляция магнитного поля по профилям напоминает корреляционный способ выделения полезного сигнала на фоне помех, известного в сейсморазведке под названием метода регулированного направленного приема.

Разработке корреляционных методов интерпретации аномалий посвящено пособие "Атлас корреляционных функций гравитационных и магнитных аномалий тел правильной формы" (О.А. Одеков, Г.И. Каратаев, О.К. Басов, Б.А. Курбансахатов) /25/. В атласе приведены графики корреляционных функций для тел правильной формы, для которых теоретические кривые даны в атласе Д.С. Микова. Графикам предпослан текст по теории и практике корреляционных исследований, тщательно разработаны вопросы практического применения АКФ.

Автокорреляционные графики для аномалий Z (они же применимы и для аномалий Н ) приведены для трех уровней. Графики взаимной корреляции приведены для сочетания различного вида аномалий. В тексте суммированы предложения о целесообразности использования автокорреляционных графиков при обработке и интерпретации исходных магнитных аномалий.

Автокорреляция и взаимная корреляция являются новейшими методиками статистических исследований. Хотя в литературе недавних лет они почти не рассматривались, представленная информация о сущности и применении их имеет характер аннотаций. Думается, что при обработке большого объема полевых наблюдений эти методы найдут достойное место. О значимости проблемы применения корреляционных функций для интерпретации магнитных аномалий А.К.Маловичко писал: « данной проблеме в современной геофизической литературе уделяется очень много внимания, хотя в целом она представляется дискуссионной. При трактовке ее игнорируются возможности изучения функциональных полей, основанных на законе Кулона, на использовании хорошо известных формул» /25/.

Теории корреляций стыкуются при решении задач, связанных с изучением переходных процессов, с теорией трансформаций Фурье. Интегралы в корреляционных функциях являются интегралами типа свертки, поэтому развитие теории естественно рассматривается с применением спектральных представлений, частотных характеристик и энергетических спектров.

Задачи магниторазведки, решаемые корреляционными методами анализа, описаны в книге С.А. Серкерова /29/.

Взаимные корреляционные функции сигналов

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

B su (t) =s(t) u(t+t) dt. (6.14)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|B su (t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t-t в формуле (6.2.1), получаем:

B su (t) =s(t-t) u(t) dt =u(t) s(t-t) dt = B us (-t).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B su (t) ¹ B su (-t), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0.

Это можно наглядно видеть на рис. 6.6, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (6.14) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)). При t=0 сигналы ортогональны и значение B 12 (t)=0. Максимум В 12 (t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t).

Рис. 6.6. Сигналы и ВКФ

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.14) и (6.14") наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал t сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. B su (t) = B us (-t).

На рис. 6.7 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Рис. 6.7. Взаимноковариационные функции сигналов

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией B su . Вместе с тем функция B su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B sv на рис. 6.7. Если поменять местами выражения функций в (6.14), то новая функция B vs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией B sv .

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

B su (t) =s(t) u(t+t) dt. B us (t) =u(t) s(t+t) dt. (6.14")

Корреляция – математическая операция, схожа со свёрткой, позволяет получить из двух сигналов третий. Бывает: автокорреляция (автокорреляционная функция), взаимная корреляция (взаимнокорреляционная функция, кросскорреляционная функция). Пример:

[Взаимная корреляционная функция]

[Автокорреляционная функция]

Корреляция - это техника обнаружения заранее известных сигналов на фоне шумов, ещё называют оптимальной фильтрацией. Хотя корреляция очень похожа на свёртку, но вычисляются они по-разному. Области применения их также различные (c(t)=a(t)*b(t) - свертка двух функций, d(t)=a(t)*b(-t) - взаимная корреляция).

Корреляция – это та же свёртка, только один из сигналов инвертируется слева направо. Автокорреляция (автокорреляционная функция) характеризует степень связи между сигналом и его сдвинутой на τ копией. Взаимнокорреляционная функция характеризует степень связи между 2-мя разными сигналами.

Свойства автокорреляционной функции:

• 1) R(τ)=R(-τ). Функция R(τ) – является чётной.
• 2) Если х(t) – синусоидальная функция времени, то её автокорреляционная функция – косинусоидальная той же частоты. Информация о начальной фазе теряется. Если x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) Функция автокорреляции и спектра мощности связаны преобразованием Фурье.
• 4) Если х(t) – любая периодическая функция, то R(τ) для неё может быть представлена в виде суммы автокорреляционных функций от постоянной составляющей и от синусоидально изменяющейся составляющей.
• 5) Функция R(τ) не несёт никакой информации о начальных фазах гармонических составляющих сигнала.
• 6) Для случайной функции времени R(τ) быстро уменьшается с увеличением τ. Интервал времени, после которого R(τ) становится равным 0 называется интервалом автокорреляции.
• 7) Заданной x(t) соответствует вполне определённое R(τ), но для одной и той же R(τ) могут соответствовать различные функции x(t)

Исходный сигнал с шумами:

Автокорреляционная функция исходного сигнала:

Свойства взаимной корреляционной функции (ВКФ):

• 1) ВКФ не является ни чётной ни нечётной функ¬цией, т.е. R ху (τ) не равно R ху (-τ).
• 2) ВКФ остаётся неизменной при перемене чередования функций и изменений знака аргумента, т.е. R ху (τ)=R ху (-τ).
• 3) Если случайные функции x(t) и y(t) не содержат постоянных составляющих и создаются независимыми источниками, то для них R ху (τ) стремится к 0. Такие функции называются некоррелированными.

Исходный сигнал с шумами:

Меандр той же частоты:

Корреляция исходного сигнала и меандра:

Внимание! Каждый электронный конспект лекций является интеллектуальной собственностью своего автора и опубликован на сайте исключительно в ознакомительных целях.