Любая механическая система так же, как и любое тело обладает такой замечательной точкой как центр масс. Она есть у человека, автомобиля, Земли, Вселенной, т. е. у любого предмета. Очень часто эту точку путают с центром тяжести. Несмотря на то что они часто друг с другом совпадают, у них есть определенные различия. Можно сказать, что центр масс механической системы - это более обширное понятие по сравнению с ее центром тяжести. Что же это такое и как найти его местоположение в системе или в отдельно взятом объекте? Об этом как раз и пойдет речь в нашей статье.

Понятие и формула определения

Центр масс представляет собой некую точку пересечения прямых, параллельно которым воздействуют внешние силы, вызывая при этом поступательное движение данного объекта. Это утверждение является справедливым как для отдельного взятого тела, так и для группы элементов имеющих между собой определенную связь. Центр масс всегда совпадает с центром тяжести и является одной из важнейших геометрических характеристик распределения всех масс в исследуемой системе. Обозначим через m i массу каждой точки системы (i = 1,…,n). Положение любой из них можно описать тремя координатами: x i , у i , z i . Тогда очевидно, что масса тела (всей системы) будет равна сумме масс ее частиц: М=∑m i . А сам центр масс (O) можно будет определить через следующие соотношения:

X o = ∑m i *x i /M;

Y o = ∑m i *y i /M;

Z o = ∑m i *z i /M.

Чем же интересна данная точка? Одно из главных ее достоинств - это то, что она характеризует движение объекта как целого. Это свойство позволяет использовать центр массы в тех случаях, когда тело имеет большие габариты или неправильную геометрическую форму.

Что следует знать для нахождения данной точки

Практическое применение

Рассматриваемое понятие широко используется в различных областях механики. Обычно центр масс используют в роли центра тяжести. Последний представляет собой такую точку, подвесив объект, за который, можно будет наблюдать неизменность его положения. Центр масс системы нередко рассчитывают при проектировании различных деталей в машиностроении. Он также играет большую роль в обеспечении равновесия, что можно применить, к примеру, при создании альтернативных вариантов мебели, транспортных средств, в строительстве, в складском хозяйстве и т. д. Без знания основных принципов, по которым определяется центр тяжести, было бы сложно организовать безопасность работ с массивными грузами и любыми габаритными предметами. Надеемся, что наша статья оказалась полезной и ответила на все вопросы по данной теме.

Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от её суммарной массы и распределения масс. Масса системы равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему

В однородном поле тяжести, для которого , вес любой частицы тела будет пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести:

, , . (1)

В полученные равенства входят только массы материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты этих точек. Следовательно, положение точки С (x C , y C , z C) действительно харак­теризует распределение масс в теле или в любой механической си­стеме, если под , понимать соответственно массы и координаты точек этой системы.

Геометрическая точка С , координаты которой определяются указанными формулами, называется центром масс или центром инерции системы.

Положение центра масс определяется его радиус-вектором

где - радиус-векторы точек, образующих систему.

Хотя положение центра масс совпадает с положением центра тя­жести тела, находящегося в однородном поле тяжести, понятия эти не являются тождественными. Понятие о центре тяжести, как о точке, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тя­жести, по существу имеет смысл только для твердого тела, находя­щегося в однородном поле тяжести. Понятие же о центре масс, как о характеристике распределения масс в системе, имеет смысл для любой системы материальных точек или тел, причем, это понятие сохраняет свой смысл независимо от того, находится ли данная си­стема под действием каких-нибудь сил или нет.

Момент инерции тела относительно оси. Радиус инер­ции.

Положение центра масс характеризует распределение масс системы не полностью. Например (рис.32), если расстояния h от оси Oz каждого из одинаковых шаров А и В увеличить на одну и ту же величину, то положение центра масс системы не изменится, а распределение масс станет другим, и это скажется на движении системы (вращение вокруг оси Oz при прочих равных условиях будет происходить медленнее).

Рис.32

Поэтому в механике вводится еще одна характеристика распре­деления масс - момент инерции. Моментом инерциитела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.

Заметим также, что момент инерции тела – это геометрическая характеристика тела, не зависящая от его движения.

Осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. что осевой момент инерции является ме­рой инертности тела при вра­щательном движении.

Согласно формуле момент инерции тела равен сумме момен­тов инерции всех его частей от­носительно той же оси. Для од­ной материальной точки, нахо­дящейся на расстоянии h от оси, .

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Оz называется линейная величина , определяемая равенством

где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Оz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

В случае сплошного те­ла, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве , обратится в интеграл. В результате, учи­тывая, что , где - плотность, а V- объем, получим

Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела.

Моменты инерции некоторых однородных тел:

1.Тонкий однородный стержень длины l и массы М. Вычислим его момент инерции относи­тельно оси Аz, перпендикулярной к стержню и прохо­дящей через его конец А (рис. 33).

Рис.33

Направим вдоль АВ координатную ось Ах. Тогда для любого элементарного отрезка длины dx величина h=x, а масса , где - масса единицы длины стержня. В результате

Заменяя здесь его значением, найдем окончательно:

2. Тонкое круглое однородное кольцо радиуса R и массы М. Найдем его момент инерции относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр (рис.34,а). Так как все точки кольца находятся от оси Cz на расстоянии h k =R, то

Следовательно, для кольца

Очевидно, такой же результат получится для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки массы М и радиуса R относитель­но ее оси.

3. Круглая однородная пластина или цилиндр ра­диуса R и массы М. Вычислим момент инерции круглой пла­стины относительно оси Сz, перпендикулярной к пластине и прохо­дящей через ее центр (см. рис.34,а ). Для этого выделим элементарное кольцо радиуса r и ширины dr (рис.34,б ).

Термин «центр масс» используется не только в механике и в расчетах движения но и обыденной жизни. Просто люди не всегда задумываются о том, какие же законы природы проявляются в той или иной ситуации. Например, фигуристы в парном катании активно используют центр масс системы, когда раскручиваются, взявшись за руки.

Понятие центра масс также применяется при проектировке кораблей. Необходимо учесть не просто два тела, а огромное их количество и все привести к единому знаменателю. Ошибки в расчетах означают отсутствие устойчивости корабля: в одном случае он будет чрезмерно погружен в воду, рискуя пойти ко дну при самых незначительных волнах; а в другом слишком приподнят над уровнем моря, создавая опасность переворота на бок. Кстати, именно поэтому каждая вещь на борту должна быть на своем месте, предусмотренным расчетами: наиболее массивные в самом низу.

Центр масс используется не только в отношении небесных тел и проектировании механизмов, но и при изучении «поведения» частиц микромира. К примеру, многие из них рождаются парами (электрон-позитрон). Обладая изначальным вращением и подчиняясь законам притяжения/отталкивания, они могут быть рассмотрены как система с общим центром масс.

Движение системы кроме действующих сил зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы (обозначаем М или ) равна арифметической сумме масс всех точек или тел, образующих систему.

распределение масс в системе определяется значениями масс ее точек и их взаимными положениями, т. е. их координатами Однако оказывается, что при решении тех задач динамики, которые мы будем рассматривать, в частности динамики твердого тела, для учета распределения масс достаточно знать не все величины , а некоторые, выражаемые через них суммарные характеристики. Ими являются: координаты центра масс (выражаются через суммы произведений масс точек системы на их координаты), осевые моменты инерции (выражаются через суммы произведений масс точек системы на квадраты их координат) и центробежные моменты инерции (выражаются через суммы произведений масс точек системы и двух из их координат). Эти характеристики мы в данной главе и рассмотрим.

Центр масс. В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы (59) из § 32, определяющие координаты центра тяжести тела, к виду, явно содержащему массу. Для этого положим в названных формулах , после чего, сократив на g, найдем:

В полученные равенства входят теперь массы материальных точек (частиц), образующих тело, и координаты этих точек. Следовательно, положение точки действительно характеризует распределение масс в теле или в любой механической системе, если под понимать соответственно массы и координаты точек системы.

Геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами (1), называется центром масс или центром инерции механической системы.

Если положение центра масс определять его радиусом-вектором то из равенств (1) для получается формула

где - радиусы-векторы точек, образующих систему.

Из полученных результатов следует, что для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают. Но в отличие от центра тяжести понятие о центре масс сохраняет свой смысл для тела, находящегося в любом силовом поле (например, в центральном поле тяготения), и, кроме того, как характеристика распределения масс, имеет смысл не только для твердого тела, но и для любой механической системы.

Снова рассмотрим ту же систему материальных точек. Построим радиус-вектор по следующему правилу:

где - радиус-вектор - той материальной точки системы, а - ее масса.

Радиус-вектор определяет положение в пространстве центра инерции (центра масс) системы.

Вовсе не обязательно, что в центре масс системы окажется какая-то материальная точка.

Пример. Найдем центр масс системы, состоящей из двух маленьких шариков - материальных точек, соединенных невесомым стержнем (рис. 3.29). Такая система тел называется гантелей.

Рис. 3.29. Центр масс гантели

Из рис. видно, что

Подставляя в эти равенства выражение для радиус-вектора центра масс

Отсюда следует, что центр масс лежит на прямой, проходящей через центры шаров. Расстояния l 1 и l 2 между шарами и центром масс равны соответственно

Центр масс ближе к тому шарику, масса которого больше, что видно из отношения:

Определим, с какой скоростью движется центр инерции системы. Дифференцируем по времени обе части:

В числителе полученного выражения в правой части стоит сумма импульсов всех точек, то есть импульс системы. В знаменателе стоит полная масса системы

Мы получили, что скорость центра инерции связана с импульсом системы и ее полной массой таким же соотношением, какое справедливо для материальной точки:

Видео 3.11. Движение центра масс двух одинаковых тележек, связанных пружиной.

Центр масс замкнутой системы движется всегда с постоянной скоростью, поскольку импульс такой системы сохраняется.

Если продифференцировать теперь выражение для импульса системы по времени и учесть, что производная импульса системы есть равнодействующая внешних сил, то получим уравнение движения центра масс системы в общем случае:

Видно, что

Центр масс системы движется точно так же, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всех частиц системы, под действием векторной суммы всех внешних сил, приложенных к системе.

Если имеется система материальных точек, внутреннее расположение и движение которых нас не интересует, мы вправе считать ее материальной точкой с координатами радиус-вектора центра инерции и массой, равной сумме масс материальных точек системы.

Если связать с центром масс замкнутой системы материальных точек (частиц) систему отсчета (ее называют системой центра масс ), то полный импульс всех частиц в такой системе окажется равным нулю. Таким образом, в системе центра масс замкнутая система частиц как целое покоится, и существует только движение частиц относительно центра масс. Поэтому ясно выявляются свойства внутренних процессов, протекающих в замкнутой системе.

В случае, когда системой является тело с непрерывным распределением масс, определение центра масс остается по существу тем же. Окружаем произвольную точку в нашем теле небольшим объемом . Масса, заключенная в этом объеме, равна , где - плотность вещества тела, которая может и не быть постоянной по его объему. Сумма по всем таким элементарным массам заменяется теперь на интеграл по всему объему тела, так что для положения центра масс тела получается выражение

Если вещество тела однородно, плотность его постоянна, и ее можно вынести из-под знака интеграла, так что она сократится в числителе и знаменателе. Тогда выражение для радиус-вектора центра масс тела принимает вид

где - объем тела.

И в случае непрерывного распределения масс справедливо утверждение, что

Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием векторной суммы всех внешних сил,приложенных к телу.

Пример . Если снаряд взрывается в некоторой точке своей параболической траектории, то осколки летят по самым различным траекториям, но его центр масс продолжает движение по параболе.