Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

• Системы m линейных уравнений с n неизвестными.
  Решение системы линейных уравнений — это такое множество чисел {x 1 , x 2 , …, x n }, при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.
  где a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n — коэффициенты системы;
  b i , i = 1, …, m — свободные члены;
  x j , j = 1, …, n — неизвестные.
  Вышеприведенная система может быть записана в матричном виде: A · X = B ,
  
  
  
  
  где (A |B ) — основная матрица системы;
  A — расширенная матрица системы;
  X — столбец неизвестных;
  B — столбец свободных членов.
  Если матрица B не является нуль-матрицей ∅, то данная система линейных уравнений называется неоднородной.
  Если матрица B = ∅, то данная система линейных уравнений называется однородной. Однородная система всегда имеет нулевое (тривиальное) решение: x 1 = x 2 = …, x n = 0 .
  Совместная система линейных уравнений — это имеющая решение система линейных уравнений.
  Несовместная система линейных уравнений — это не имеющая решение система линейных уравнений.
  Определённая система линейных уравнений — это имеющая единственное решение система линейных уравнений.
  Неопределённая система линейных уравнений — это имеющая бесконечное множество решений система линейных уравнений.
• Системы n линейных уравнений с n неизвестными
  Если число неизвестных равно числу уравнений, то матрица – квадратная. Определитель матрицы называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Δ.
  Метод Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
  Правило Крамера.
  Если главный определитель системы линейных уравнений не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:
  где Δ i — определители, получаемые из главного определителя системы Δ заменой i -го столбца на столбец свободных членов. .
• Системы m линейных уравнений с n неизвестными
  Теорема Кронекера−Капелли .
  
  
  Для того чтобы данная система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы, rang(Α) = rang(Α|B) .
  Если rang(Α) ≠ rang(Α|B) , то система заведомо не имеет решений.
  Eсли rang(Α) = rang(Α|B) , то возможны два случая:
  1) rang(Α) = n (числу неизвестных) − решение единственно и может быть получено по формулам Крамера;
  2) rang(Α) < n − решений бесконечно много.
• Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
  
  
  Составим расширенную матрицу (A |B ) данной системы из коэффициентов при неизвестных и правых частей.
  Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в приведении расширенной матрицы (A |B ) с помощью элементарных преобразований над ее строками к диагональному виду (к верхнему треугольному виду). Возвращаясь к системе уравнений, определяют все неизвестные.
  К элементарным преобразованиям над строками относятся следующие:
  1) перемена местами двух строк;
  2) умножение строки на число, отличное от 0;
  3) прибавление к строке другой строки, умноженной на произвольное число;
  4) выбрасывание нулевой строки.
  Расширенной матрице, приведенной к диагональному виду, соответствует линейная система, эквивалентная данной, решение которой не вызывает затруднений. .
• Система однородных линейных уравнений.
  Однородная система имеет вид:
  
  ей соответствует матричное уравнение A · X = 0 .
  1) Однородная система всегда совместна, так как r(A) = r(A|B) , всегда существует нулевое решение (0, 0, …, 0).
  2) Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r = r(A) < n , что равносильно Δ = 0.
  3) Если r < n , то заведомо Δ = 0, тогда возникают свободные неизвестные c 1 , c 2 , …, c n-r , система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.
  4) Общее решение X при r < n может быть записано в матричном виде следующим образом:
  X = c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + … + c n-r · X n-r ,
  где решения X 1 , X 2 , …, X n-r образуют фундаментальную систему решений.
  5) Фундаментальная система решений может быть получена из общего решения однородной системы:
  
  ,
  если последовательно полагать значения параметров равными (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …,1).
  Разложение общего решения по фундаментальной системе решений — это запись общего решения в виде линейной комбинации решений, принадлежащих к фундаментальной системе.
  Теорема . Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.
  Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение.
  Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.
  Теорема . Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы r(A) < n .
  Доказательство :
  1) r не может быть больше n (ранг матрицы не превышает числа столбцов или строк);
  2) r < n , т.к. если r = n , то главный определитель системы Δ ≠ 0, и, по формулам Крамера, существует единственное тривиальное решение x 1 = x 2 = … = x n = 0 , что противоречит условию. Значит, r(A) < n .
  Следствие . Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ = 0.

Многие практические задачи сводятся к решению систем алгебраических уравнений 1–й степени или, как их обычно называют, систем линœейных уравнений. Мы научимся решать любые такие системы, не требуя даже, чтобы число уравнений совпадало с числом неизвестных.

В общем виде система линœейных уравнений записывается так:

Здесь числа a ij – коэффициенты системы, b i – свободные члены, x i – символы неизвестных . Очень удобно ввести матричные обозначения: – основная матрица системы, – матрица–столбец свободных членов, – матрица–столбец неизвестных. Тогда систему можно записать так: AX =B или, подробнее:

В случае если в левой части этого равенства выполнить умножение матриц по обычным правилам и приравнять элементы полученного столбца к элементам В , то мы придём к первоначальной записи системы.

Пример 14 . Запишем одну и ту же систему линœейных уравнений двумя разными способами:

Система линœейных уравнений принято называть совместной , в случае если у неё есть хотя бы одно решение, и несовместной, если решений нет.

В нашем примере система совместна, столбик является её решением:

Это решение можно записать и без матриц: x =2, y =1 . Систему уравнений будем называть неопределённой , в случае если она имеет более одного решения, и определённой, если решение единственно.

Пример 15 . Система является неопределœенной. К примеру являются ее решениями. Читатель может найти и много других решений этой системы.

Научимся решать системы линœейных уравнений сначала в частном случае. Систему уравнений АХ =В будем называть крамеровской , в случае если её основная матрица А – квадратная и невырожденная. Другими словами, в крамеровской системе число неизвестных совпадает с числом уравнений и .

Теорема 6. (Правило Крамера). Крамеровская система линœейных уравнений имеет единственное решение, задаваемое формулами:

где – определитель основной матрицы, – определитель, полученный из D заменойi –го столбика столбиком свободных членов.

Замечание. Крамеровские системы можно решать и по–другому, с помощью обратной матрицы. Запишем такую систему в матричном виде: AX =В . Так как , то существует обратная матрицаА –1 . Умножаем матричное равенство на А –1 слева: А –1 АХ =А –1 В . Так как А –1 АХ =ЕХ =Х , то решение системы найдено: Х = А –1 В .Такой способ решения будем называть матричным . Ещё раз подчеркнём, что он годится только для крамеровских систем – в других случаях обратная матрица не существует. Разобранные примеры применения матричного метода и метода Крамера читатель найдёт ниже.

Изучим, наконец, общий случай – систему m линœейных уравнений с n неизвестными. Для её решения применяется метод Гаусса , который мы рассмотрим подробно.Для произвольной системы уравненийАХ =В выпишем расширенную матрицу. Так принято называть матрица, которая получится, в случае если к основной матрице А справа дописать столбец свободных членов В :

Как и при вычислении ранга, с помощью элементарных преобразований строк и перестановок столбцов будем приводить нашу матрицу к трапецевидной форме. При этом, конечно, соответствующая матрице система уравнений изменится, но будет равносильна исходной (ᴛ.ᴇ. будет иметь те же решения). В самом делœе, перестановка или сложение уравнений не изменят решений. Перестановка столбцов – тоже: уравнения x 1 +3x 2 +7x 3 =4 и x 1 +7x 3 +3x 2 =4, конечно, равносильны. Нужно только записывать, какой неизвестной соответствует данный столбец. Столбец свободных членов не переставляем – его обычно в матрице отделяют от других пунктиром. Возникающие в матрице нулевые строки можно не писать.

Пример 1 . Решить систему уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу и приведем её к трапецевидной форме. Знак ~ теперь будет означать не только совпадение рангов, но и равносильность соответствующих систем уравнений.

~ . Поясним выполненные действия.

Действие 1 . Ко 2–й строке прибавили 1–ю, умножив ее на (–2). К 3–й и 4–й строкам прибавили 1–ю, умножив ее на (–3). Цель этих операций – получить нули в первом столбике, ниже главной диагонали.

Действие 2. Так как на диагональном месте (2,2) оказался0 , пришлось переставить 2–й и 3–й столбики. Чтобы запомнить эту перестановку, написали сверху обозначения неизвестных.

Действие 3. K 3–й строке прибавили 2–ю, умножив ее на (–2). К 4–й строке прибавили 2–ю. Цель – получить нули во втором столбике, ниже главной диагонали.

Действие 4. Нулевые строчки можно убрать.

Итак, матрица приведена к трапецевидной форме. Ее ранг r =2 . Неизвестные х 1 , х 3 – базисные; х 2 , х 4 – свободные. Придадим свободным неизвестным произвольные значения:

х 2 = a , х 4 = b.

Здесь a, b бывают любыми числами. Теперь из последнего уравнения новой системы

x 3 +x 4 = –3

находим х 3: х 3 = –3 –b. Поднимаясь вверх, из первого уравнения

х 1 +3х 3 +2х 2 +4х 4 = 5

находим х 1: х 1 =5 –3(–3 –b) –2a –4b = 14 –2a –b .

Записываем общее решение:

x 1 =14 –2a –b, x 2 =a, x 3 =–3 –b, x 4 =b.

Можно записывать общее решение в виде матрицы–столбца:

При конкретных значениях a и b , можно получать частные решения. К примеру, приa =0, b =1 получим: – одно из решений системы.

Замечания. В алгоритме метода Гаусса мы видели (случай 1), что несовместность системы уравнений связана с несовпадением рангов основной и расширенной матриц. Приведём без доказательства следующую важную теорему.

Теорема 7 (Кронекера – Капелли) . Система линœейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы системы.

Системы линейных уравнений - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Системы линейных уравнений" 2017, 2018.

- СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Чтобы его строки (либо столбцы) были линейно зависимы. Пусть дана система, содержащая mлинейных уравнений сnнеизвестными: 5.1. Введем следующие обозначения. 5.2., - матрица системы - ее расширенная матрица. - столбец свободных членов. - столбец неизвестных. Если... .

- П.1. Сведение системы линейных уравнений к задаче

нелинейной оптимизации (ЗНО) и наоборот. Постановка задачи ЗНО: Найти (8.1) минимум или максимум в некоторой области D. Как мы помним из мат. анализа, следует приравнять частные производные к нулю. Таким образом, ЗНО (8.1) свели к СНУ (8.2) (8.2) n нелинейных уравнений. ... .

- Неоднородные системы линейных уравнений

Лекция 15 Рассмотрим неоднородную систему (16) Если соответствующие коэффициенты однородной системы (7) равны соответствующим коэффициентам неоднородной системы (16), то однородная система (7) называется соответствующей неоднородной системе (16). Теорема. Если... [читать подробнее] .

-

7.1 Однородные системы линейных уравнений. Пусть дана однородная система линейных уравнений (*) Предположим, что набор чисел - какое-то решение этой системы. Тогда набор чисел тоже является решением. Это проверяется непосредственной подстановкой в уравнения системы.... .

- Структура множества решений системы линейных уравнений

Таблица 3 Этапы моторного развития ребенка Этап Возраст Показатели моторного развития момент рождения до 4 мес Формирование контроля над положением головы и возможности ее свободной ориентации в пространстве 4-6 месяцев освоение начальной... .

- Системы линейных уравнений (СЛУ). Решение системы линейных уравнений. Элементарные преобразования СЛУ. Элементарные преобразования матрицы.

Определение 1. Система линейных уравнений вида (1) , где, поле, называется системой m линейных уравнений с n неизвестными над полем, - коэффициенты при неизвестных, - свободные члены системы (1). Определение 2.Упорядоченная n-ка (), где, называется решением системы линейных... .

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

где a ij и b i (i =1,…,m ; b =1,…,n ) – некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент.

Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы , которую назовём матрицей системы .

Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m называются свободными членами.

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы. При этом могут возникнуть три ситуации:

Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной . В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной .

Рассмотрим способы нахождения решений системы.

МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A ∙X=B .

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением .

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A | ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1 , обратную матрице A : . Поскольку A -1 A = E и E ∙X = X , то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B .

Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных . Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B .

Примеры. Решить системы уравнений.

ПРАВИЛО КРАМЕРА

Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,

называется определителем системы .

Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

Тогда можно доказать следующий результат.

Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём

Доказательство . Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений с тремя неизвестными. Умножим 1-ое уравнение системы на алгебраическое дополнение A 11 элемента a 11 , 2-ое уравнение – на A 21 и 3-е – на A 31 :

Сложим эти уравнения:

Рассмотрим каждую из скобок и правую часть этого уравнения. По теореме о разложении определителя по элементам 1-го столбца

Аналогично можно показать, что и .

Наконец несложно заметить, что

Таким образом, получаем равенство: .

Следовательно, .

Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.

Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

Примеры. Решить систему уравнений

МЕТОД ГАУССА

Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

.

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1 . Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11 , а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11 , а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2 . Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3 , затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1 .

При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:

и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:

1. перестановка строк или столбцов;
2. умножение строки на число, отличное от нуля;
3. прибавление к одной строке другие строки.

Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.

Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.

С n неизвестными это система вида:

где a ij и b i (i=1,…,m; b=1,…,n) - некоторые известные числа, а x 1 ,…,x n - неизвестные числа. В обозначении коэффициентов a ij индекс i определяет номер уравнения, а второй j - номер неизвестного, у которого расположен этот коэффициент.

Однородная система - когда все свободные члены системы равны нулю (b 1 = b 2 = … = b m = 0 ), обратная ситуация — неоднородная система .

Квадратная система - когда число m уравнений равняется числу n неизвестных.

Решение системы — совокупность n чисел c 1 , c 2 , …, c n , таких, что подстановка всех c i вместо x i в систему превращает все её уравнения в тождества .

Совместная система - когда у системы есть хоть бы 1-но решение, и несовместная система , когда у системы нет решений.

У совместной системы такого вида (как приведен выше, пусть она будет (1)) может быть одно либо больше решений.

Решения c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n (1) и c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n (2) совместной системы типа (1) будут различными , когда не выполняется даже 1-но из равенств:

c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) .

Совместная система типа (1) будет определённой , когда у нее есть только одно решение; когда у системы есть хотя бы 2 разных решений, она становится недоопределённой . Когда уравнений больше, чем неизвестных, система является переопределённой .

Коэффициенты при неизвестных записываются как матрица:

Она называется матрицей системы .

Числа, которые стоят в правых частях уравнений, b 1 ,…,b m являются свободными членами .

Совокупность n чисел c 1 ,…,c n является решением этой системы, когда все уравнения системы обращаются в равенство после подставки в них чисел c 1 ,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1 ,…,x n .

При решении системы линейных уравнений могут возникнуть 3 варианта:

1. У системы есть только одно решение.

2. У системы есть нескончаемое число решений. Например , . Решением этой системы будут все пары чисел, которые отличаются знаком.

3. У системы нет решений. Например , , если бы решение существовало, то x 1 + x 2 равнялось бы в одно время 0 и 1.

Методы решения систем линейных уравнений.

Прямые методы дают алгоритм, по которому находится точное решение СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). И если бы точность была абсолютной, они бы нашли его. Реальная электро-вычислительная машина, конечно, работает с погрешностью, поэтому решение будет приблизительным.