Поверхностью называют множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется образующей поверхности. Если образующая кривая, она может иметь постоянный или переменный вид. Перемещается образующая по направляющим , представляющим собой линии иного направления, чем образующие. Направляющие линии задают закон перемещения образующим. При перемещении образующей по направляющим создается каркас поверхности (рис. 84), представляющей собой совокупность нескольких последовательных положений образующих и направляющих. Рассматривая каркас, можно убедиться, что образующие l и направляющие m можно поменять местами, но при этом поверхность получается одна и та же.

Любую поверхность можно получить различными способами. Так, прямой круговой цилиндр (рис. 85) можно создать вращением образующей l вокруг оси i, ей параллельной. Тот же цилиндр образуется перемещением окружности m с центром в точке O, скользящим по оси i. Любая кривая k, лежащая на поверхности цилиндра, образует эту поверхность при своем вращении вокруг оси i.

На практике из всех возможных способов образования поверхности выбирают наиболее простой.

В зависимости от образующей формы все поверхности можно разделить на линейчатые , у которых образующая прямая линия, и нелинейчатые , у которых образующая кривая линия.

В линейчатых поверхностях выделяют поверхности развертывающиеся, совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов и складок, и неразвертывающиеся, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок.

К развертывающимся поверхностям относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические и торсовые поверхности. Все остальные поверхности - неразвертывающиеся. Нелинейчатые поверхности могут быть с образующей постоянной формы (поверхности вращения и трубчатые поверхности) и с образующей переменной формы (каналовые и каркасные поверхности).

Для задания поверхностей выбирают такую совокупность независимых геометрических условий, которая однозначно определяет данную поверхность в пространстве. Эта совокупность условий называется определителем поверхности .

Определитель состоит из двух частей: геометрической, в которую входят основные геометрические элементы и соотношения между ними, и алгоритмической, содержащей последовательность и характер операций перехода от основных постоянных элементов и величин к переменным элементам поверхности, т. е. закон построения отдельных точек и линий данной поверхности.

Поверхность на комплексном чертеже задается проекциями геометрической части ее определителя с указанием способа построения ее образующих. На чертеже поверхности для любой точки пространства однозначно решается вопрос о принадлежности ее данной поверхности. Графическое задание элементов определителя поверхности обеспечивает обратимость чертежа, но не делает его наглядным. Для наглядности прибегают к построению проекций достаточно плотного каркаса образующих и к построению очерковых линий поверхности (рис. 86).

При проецировании поверхности Ω на плоскость проекций проецирующие лучи прикасаются этой поверхности в точках, образующих на ней некоторую линию l, которая называется контурной линией. Проекция контурной линии называется очерком поверхности. На комплексном чертеже любая поверхность имеет: на П 1 - горизонтальный очерк, на П 2 - фронтальный очерк, на П 3 - профильный очерк. Очерк включает в себя, кроме проекций линии контура, также проекции линий обреза.

Из существенного множества поверхностей в курсе инженерной графики будут рассмотрены все развертывающиеся поверхности, к которым относятся гранные, конические, цилиндрические, торсовые, некоторые поверхности вращения и винтовые.

Простейшей поверхностью, широко используемой в инженерной графике, является плоскость, представляющая собой поверхность, образованную перемещением прямолинейной образующей (рис. 87) по двум параллельным или пересекающимся прямым m 1 и m 2 .

Министерство образования Российской Федерации

Саратовский государственный технический университет

ПОВЕРХНОСТИ

Методические указания к выполнению задания 2

для студентов специальностей
1706, 1705, 1201, 2503, 2506

Одобрено

редакционно-издательским советом

Саратовского государственного

технического университета

Саратов 2003

ВВЕДЕНИЕ

В практике машиностроения широко распространены детали с цилиндрическими, коническими, сферическими, торовыми и винтовыми, поверхностями. Технические формы изделий часто представляют собой комбинацию поверхностей вращения с совпадающими, пересекающимися и скрещивающимися осями. При выполнении чертежей таких изделий возникает необходимость изображения линий пересечения поверхностей, называемых также линиями перехода.

Общим способом построения линий пересечения является нахождение точек этой линии при помощи некоторых вспомогательных секущих плоско­стей или поверхностей называемых иногда «посредниками».

В настоящих методических указаниях рассматриваются общие и част­ные случаи построения линий пересечения двух поверхностей и способы построения разверток поверхностей.

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.

В начертательной геометрии поверхность рассматривается как совокупность последовательных положений перемещающейся в пространстве линии, называемой образующей.

Если одну из линий поверхности принять за направляющую q и перемещать по ней по определенному закону образующую l , получим семейство образующих поверхности, определяющих поверхность (рис. 1).

Для задания поверхности на чертеже введено понятие определителя поверхности.

Определитель – это совокупность условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности.

Определитель состоит из геометрической части, содержащей геометрические фигуры, и закона образования поверхности. Например, геометрической частью определителя фигуры a(l, q) на рис.1 являются образующая l и направляющая q , положение которых задано на чертеже. Закон образования: прямая l , перемещаясь в пространстве, всегда касается q , оставаясь параллельной направлению S . Эти условия однозначно определяют цилиндрическую поверхность. Для любой точки пространства можно решить вопрос принадлежности ее поверхности (А Î a, в Ï a) .

Геометрическая часть определителя конической поверхности b(q, S) состоит из направляющей q и вершины S (рис. 2). Закон образования конической поверхности: образующая прямая l q , всегда проходит через вершину S , образуя непрерывное множество прямых конической поверхности.

Поверхности, полученные непрерывным движением, называют кинематическими . Такие поверхности относятся к точным, закономерным, в отличие от незакономерных или случайных.

Поверхности, образованные движением прямой линии, именуют линейчатыми, кривой линией – нелинейчатыми.

По закону движения образующей различают поверхности с поступательным перемещением образующей, с вращательным движением образующей – поверхности вращения, с винтовым движением образующей – винтовые поверхности.

Поверхности могут быть заданы каркасом. Каркасной называют поверхность, которая задается некоторым числом линий, принадлежащих такой поверхности (рис. 3).

Зная координаты точек пересечения линий, можно построить чертеж каркасной поверхности.

1.2. Поверхности вращения.

В числе кривых поверхностей широко распространены поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую вращением какой-либо образующей вокруг неподвижной прямой – оси поверхности.

Поверхность вращения может быть образована вращением кривой линии (сфера, тор, параболоид, эллипсоид, гиперболоид и др.) и вращением прямой линии (цилиндр вращения, конус вращения, однополостной гиперболоид вращения).

Из определения поверхности вращения вытекает, что геометрическая часть определителя a(i, l) поверхности вращения a должна состоять из оси вращения i и образующей l . Закон образования поверхности, вращение l вокруг I позволяет построить непрерывное множество последовательных положений образующей поверхности вращения.

Из множества линий, которые можно провести на поверхностях вращения, параллели (экватор) и меридианы (главный меридиан) занимают особое положение. Применение этих линий значительно упрощает решение позиционных задач. Рассмотрим эти линии.

Каждая точка образующей l (рис. 4) описывает вокруг оси i окружность, лежащую в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эту окружность можно представить как линию пересечения поверхности некоторой плоскостью (b) , перпендикулярной к оси поверхности вращения. Такие окружности называют параллелями (Р) . Наибольшую из параллелей именуют экватором, наименьшую – горлом.

Рис. 5 Рис. 6

На рис. 5 параллель РА точки А – экватор, параллель РВ точки R –горло поверхности.

В случае, если ось поверхности i перпендикулярна плоскости проекций, то параллель проецируется на эту плоскость окружностью в истинную величину (Р1А) , а на плоскость проекций, параллельную оси – прямой (Р2А) , равной диаметру параллели. В этом случае упрощается решение позиционных задач. Связывая любую точку поверхности (например С ) с параллелью, легко можно найти положение проекций параллели и точку на ней. На рис. 5 по проекции С2 точки С , принадлежащей поверхности a , с помощью параллели Рс найдена горизонтальная проекция С1 .

Плоскость, проходящую через ось вращения, называют меридиональной. На рис. 4 это плоскость g . Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности. Меридиан, лежащий в плоскости, параллельной плоскости проекций, называется главным (m0 на рис. 4,5). При таком положении меридиан проецируется на плоскость П2 без искажения, а на П1 – прямой параллельной оси Х12 . Для цилиндра и конуса меридианы являются прямыми линиями.

Экватор Р2 (рис. 6) и главных меридиан (m) разграничивают поверхность на видимую и невидимую части.

На рис. 6 экватор поверхности a получен в результате сечения поверхности плоскостью d(Р= a∩ d) , а главный меридиан – плоскостью g(m= a∩ g) .

1.3. Очерк поверхности.

Проецирующая поверхность, облегающая заданную, пересекает плоскость проекций по линии, называемой очерком проекции поверхности. Другими словами, очерк поверхности – это линия, разграничивающая проекцию фигуры от остального пространства чертежа. Для построения очерка необходимо построить крайние граничные очерковые образующие. Очерковые образующие лежат в плоскости, параллельной плоскости проекций.

Любой меридиан поверхности вращения может быть принят за ее образующую. Построение очерка упростится, если за образующую взять главный меридиан, так как главный меридиан – это плоская кривая (прямая), параллельная плоскости проекций и проецирующаяся на нее без искажения.

Пример 1. Цилиндр a a(i, l) . Построить очерк поверхности (рис. 7).

При таком расположении оси i горизонтальный очерк представляет собой окружность радиуса R(R= i1 l1) . Проведем через ось i меридиальную плоскость b||П2 . Для построения фронтального очерка найдем горизонтальные проекции очерков образующих, которые лежат в плоскости главного меридиана (l1’, l1”) и по ним определим фронтальные проекции l2’ и l2” .

Фронтальная проекция главного меридиана цилиндра очерковые образующие l2’ и l2” . Прямоугольник является фронтальным очерком поверхности.

Пример 2. Конус a задан геометрической частью определителя a(i, l) . Построить очерк поверхности (рис. 8).

https://pandia.ru/text/78/241/images/image008_8.gif" width="612" height="400">

Из положения геометрических фигур l , i на рис. 9 видно, что заданная поверхность является однополостным гиперболоидом вращения. Каждая точка образующей (А, В, С и т. д.) при вращении вокруг оси i описывает окружность (параллель). При i ^ П1 на плоскость П1 параллели проецируются окружностями с радиусом равным истиной величине радиуса параллели. Точка С на образующей l описывает наименьшую параллель – параллель горла. Это кратчайшее расстояние между осью вращения и образующей l . Для нахождения Rc проведем перпендикуляр из i к l1 . i1 C1= Rc – радиус горла поверхности.

Горизонтальная проекция гиперболоида представит собой три концентрических окружности.

Фронтальный очерк поверхности должен иметь очертание ее главного меридиана.

Проведем через ось i главную меридиональную плоскость b и построим горизонтальные проекции параллелей точек А, В, С . Параллели пересекаются с плоскостью b в точках А′, В′, С′, принадлежащих главному меридиану поверхности. Непрерывное множество этих параллелей образуют каркас поверхности, а точки пересечения с плоскостью b – главный меридиан m0 поверхности. Главный меридиан можно построить как обвод точек пресечения параллелей с плоскостью b . На рисунке показано построение точки С и D .

Пример 4. Построить очерк наклонного цилиндра a(l, m) . Образующая цилиндра l , перемещаясь по направляющей m , остается параллельной сама себе. Очерк поверхности построен на рис. 10. Любая точка на поверхности цилиндра определяется, если провести через нее образующую («связать» точку с образующей). На рис. 10а по фронтальной проекции точки А2 , принадлежащей поверхности, найдена ее горизонтальная проекция А1 .

1.4. Линейчатые поверхности, с плоскостью параллелизма.

Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма образуются перемещением прямолинейной образующей по двум направляющим. При этом образующая во всех своих положениях сохраняет параллельность некоторой заданной плоскости, называемой плоскостью параллелизма.

Геометрическая часть определителя a(m, n, b) такой поверхности a содержит две направляющие и плоскость параллелизма. В зависимости от формы направляющих эти поверхности делятся на: цилиндроиды – обе направляющие кривые; коноиды – одна направляющая – прямая, одна - кривая; косая плоскость – обе направляющие прямые.

Пример: построить каркас поверхности a(m, n, b) (рис. 10б).

В данном случае за плоскость параллелизма принята горизонтальная плоскость проекций. Образующая линия, пресекая кривую m и прямую n , в любом положении остается параллельной плоскости П1 .

Всякая плоскость, параллельная плоскости параллелизма, пресекает эти поверхности по прямой линии. Отсюда, если требуется построить какую-либо образующую поверхности, надо рассечь поверхность плоскостью (например b ), параллельной плоскости параллелизма, найти точки пересечения направляющих линий поверхности с этой плоскостью (b∩ n=1; b∩ m=2; рис. 10б) и через эти точки провести прямую.

Для построения коноида на рис. 10б можно обойтись и без вспомогательных секущих плоскостей, так как фронтальные проекции образующих должны быть параллельны оси Х12 . Плотность линий каркаса на фронтальной проекции задаем произвольно. Горизонтальные проекции заданных образующих строим по линии связи, используя свойство принадлежности.

Если необходимо найти проекцию точки А , заданную проекцией А2 , необходимо поверхность рассечь плоскостью g , проходящей через точку А и параллельной плоскости параллелизма (на рис. 10б g//П1 ), найти образующую, как линию пересечения плоскости g с поверхностью a(a∩ g=3, 4), по фронтальной проекции 32, 42 найти горизонтальную 31, 41 и на ней определить А1 .

1.5. Построение точки встречи линии с поверхностью.

Найти точку встречи кривой l c поверхностью a(Р, S) .

Решение 1. Заключаем кривую l (рис. 11) во вспомогательную проецирующую поверхность b ^П1 . Проекция b1 совпадает с проекцией l1 . 2. Строим линию пересечения а поверхности α с поверхностью b′, (α Ç b=е) . Горизонтальная проекция этой линии а1 известна, она совпадает с b1 . По горизонтальной проекции а1 строим фронтальную проекцию а2 (рис. 1Определяем искомую точку к пресечения кривой l с поверхностью a.. К= l Ç a есть точка встречи l и a . С одной стороны l и а принадлежат b и l Ç a=к . С другой а Ì a, следовательно к Ì α , то есть к есть точки встречи l с поверхностью α .

https://pandia.ru/text/78/241/images/image011_6.gif" width="607" height="242">

1.6. Построение линии пересечения поверхностей.

При решении задачи построения линии пересечения одной поверхности другою применяют метод сечений – основной метод решения позиционных задач. При этом заданные поверхности рассекают вспомогательными плоскостями или кривыми поверхностями (например сферами).

Вспомогательные секущие поверхности иногда называются «посредниками».

1.5.1. Общий случай.

В общем случае для решения задачи определения линии пересечения двух поверхностей можно задать семейство образующих на одной из поверхностей (рис. 12), найти точку встречи этих образующих со второй поверхностью по алгоритму решения задачи на рис. 11, после чего произвести обводы точек встречи.

Применяя указанный способ для построения линий пресечения двух кривых поверхностей, мы можем в качестве секущих «посредников» применять вспомогательные плоскости или кривые поверхности.

Следует выбрать по возможности такие вспомогательные поверхности, которые в пересечении с заданными дают простые для построения линии (прямые или окружности).

1.5.2. Оси поверхностей вращения совпадают
(соосные поверхности).

На рис. 13 поверхности a и b заданы общей осью i и главными меридианами m0 m0’ .

Главные меридианы пересекаются в точке А(В) . Точка А(В) пересечения меридианов при вращении вокруг оси опишет параллель Р , которая будет принадлежать обеим поверхностям, следовательно, будет их линией пресечения.

Таким образом, две соосные поверхности вращения пересекаются по параллелям, которые описывают точки пересечения их меридианов. На рис. 13 оси поверхностей параллельны П2 . На плоскость проекций к которой оси поверхностей параллельны, линия пересечения Р2 проецируется прямой положение которой определяют точки пресечения главных меридианов А и В .

1.5.3. Способ секущих плоскостей.

В случае, когда оси поверхностей вращения параллельны, наиболее простые построения получаются при применении в качестве посредников секущих плоскостей. При этом вспомогательные секущие плоскости выбираются так, чтобы они пресекали обе поверхности по окружностям.

На рис. 14 заданы очерками проекции двух поверхностей вращения α и b , их оси i и j параллельны. В этом случае применение секущих плоскостей перпендикулярных осям поверхностей дает простое решение задачи. Получаемые линии пресечения поверхностей будут параллели, фронтальные проекции которых прямые равные диаметру параллели, а горизонтальные – окружности в натуральную величину.

При построении точек линий пересечения сначала следует найти опорные и характерные точки. Опорными называются точки, которые лежат на главном меридиане (3) и экваторе (4, 5). Нахождение этих точек не связано с дополнительными построениями и основано на использовании свойств принадлежности.

Заданные на рис. 14 поверхности имеют общую плоскость главного меридиана, их оси ^П1 , основания лежат в плоскости П1 . Опорными точками линии пересечения являются точка 3 пересечения главных меридианов и точки 4 и 5 пресечения параллелей оснований поверхностей. Используя свойства принадлежности, по известным проекциям 32, 41 и 51 находим 31, 42 и 52.

Остальные точки пресечения находим применяя вспомогательные секущие плоскости. Рассечем поверхности α и b горизонтальной плоскостью g . Так как g ^ осям i и j , то поверхности α и b пересекаются плоскостью g , по параллелям Ра и Р b . А так как оси i и j ^П1 , то эти параллели проецируются на П1 окружностями Ра , Р b в истинную величину, а на П2 прямыми Р2а , Р2 b равными диаметру параллели.

Точки пресечения параллелей 1 и 2 искомые. Действительно, с одной стороны параллели Ра и Р b принадлежат одной плоскости g и пересекаются в точках 2 и 1. С другой – Ра и Р b принадлежат разным поверхностям α и b . Следовательно, точки 2 и 1 одновременно принадлежат поверхностям а и b , то есть являются точками линии пересечения поверхностей. Горизонтальные проекции 21 и 11 этих точек находятся в пересечении Р1а , Р1 b , а фронтальные строим, используя свойство принадлежности.

Повторяя указанный прием, получим необходимое количество точек. Секущие плоскости распределяют равномерно в интервале от точки наивысшего подъема кривой 32 до основной фигуры.

Количество точек линии пересечения, а следовательно, и секущих плоскостей определяется требуемой точностью графических построений. Проекции линии пересечения строятся как обводы проекций ее точек. На рис. 14 линия по точкам 4, 1, 3, 2, 5.

Рассмотренный пример решения задач получил название способа секущих плоскостей.

1.5.4. Способ сфер.

Этот прием применяется в случае, когда оси поверхностей вращения пересекаются. В его основу положен рассмотренный на рис. 13 случай пересечения соосных поверхностей.

На рис. 15 изображены конус и цилиндр с пересекающимися осями i и j . Их оси параллельны плоскости П2 . Плоскость главного меридиана у обеих поверхностей общая.

) . Построение упрощается вследствие того, что плоскость главного меридиана общая. Окружности, по которым сфера пересекает одновременно две поверхности (Ра, Р b Р b" ), проецируется на плоскость П2 в виде прямых (Р2а, Р2 b, Р2 b" ) равных диаметрам параллелей.

В пересечении этих окружностей получаются точки (5, 6, 7, 8), (52, 62, 72, 82), общие для обеих поверхностей и, следовательно, принадлежащие линии пересечения. Действительно параллели Ра, Р b, Р b" , с одной стороны, принадлежат одной поверхности – сфере и имеют общие точки (5, 6, 7, 8), с другой – принадлежат разным поверхностям а и b . То есть точки 5, 6, 7, 8 принадлежат обеим поверхностям или линии пересечения поверхностей.

Чтобы получить достаточно точек для проведения искомой линии пересечения, проводится несколько сфер.

Радиус наибольшей сферы (Rmax ) равен расстоянию от центра О2 до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующий (в данном случае точки 32 и 42, Rmax= 0232=0242. При этом обе линии пресечения поверхностей со сферой (Ра и Р b ) пересекутся между собой в точках 3 и 4 при большем радиусе сферы пересечения не будет.

Радиус наименьшей сферы (Rmin ) равен расстоянию от центра 02 до наиболее удаленной очерковой образующей (Rmin=02А2 ). При этом сфера коснется конуса по окружности, а цилиндр пересечет дважды и даст точки 5, 6, 7, 8. При меньшем радиусе сферы пересечения с конусом не будет.

Теперь остается провести через точки 1, 5, 4, 6, 1 и 2, 7, 3, 8, 2 кривые линии пересечения поверхностей.

На рис. 15 все построения выполнены на одной проекции. Количество секущих сфер, с радиусами в интервале от Rmax до Rmin , зависит от требуемой точности построения. Построение горизонтальной проекции линии пересечения выполняется по фронтальной 1, 5, 4, 6, 1 и 2, 7, 3, 8, 2 с использованием свойства принадлежности.

1.5.5. Применение способа секущих плоскостей
в случаях линейчатых поверхностей с плоскостью параллелизма.

Две поверхности заданы геометрической частью определителя: a (l, i) и b(m, n, П1) . Необходимо построить очерки поверхностей и найти линию их пересечения (рис. 16).

Решение: 1. Строим очерк поверхности a , n геометрической части определителя видно, что поверхность a – сфера. Ее горизонтальный и фронтальный очерки – окружности радиуса R . 2. Строим каркас линейчатой поверхности. Так как плоскость параллельна П1 , то фронтальные проекции образующих параллельны оси Х12 . Задав на фронтальной проекции каркас определенной плоскости линий (на рис. 16 четыре линии), строим горизонтальные проекции этих образующих. 3. Для построения линии пресечения поверхностей применяем в качестве посредников секущие плоскости. Положение секущих плоскостей надо выбирать такими, чтобы они пересекали заданные поверхности по простым для построения линиям (прямым или окружностям). Этому условию удовлетворяют горизонтальные плоскости. Горизонтальные плоскости параллельны плоскости параллелизма коноида (П1 ), поэтому они будут пересекать коноид по прямым линиям. Сферу такие плоскости пересекают по параллелям.

, а" сферу по параллели Р a . Фронтальная проекция параллели (Р2 a ) прямая, равная диаметру параллели, а горизонтальная проекция (Р1 a ) – окружность. На горизонтальной проекции в пересечении параллели Р1 a и образующей 1, 11" определяется проекцией двух точек линии пресечения поверхности а и b . По горизонтальным проекциям точек А1 и В1 строим их фронтальные проекции. Повторив операцию, получим серию точек линии пересечения, обвод которых даст линию пересечения.

Экватор и главный меридиан сферы разграничивает линию на видимые и не видимые части.

1.6.Построение развёрток.

Развёрткой поверхности называется фигура, получаемая совмещением развёртываемой поверхности с плоскостью.

Развёртываемыми называются поверхности, которые совмещаются с плоскостью без разрывов и складок.

К развёртываемым поверхностям относятся гранные поверхности, а из криволинейных только цилиндрическая, коническая и торс.

Развёртки делятся на точные (развёртки гранных поверхностей), приближённые (развёртки цилиндра, конуса, торса) и условные (развёртки сферы и других неразвертываемых поверхностей).

1.6.1. Развёртки гранных поверхностей.

Выполнить развёртку пирамиды заданной проекциями на рис.17.

https://pandia.ru/text/78/241/images/image017_5.gif" width="588" height="370">

Способ раскатки применим в случае, если рёбра призмы параллельны плоскости проекций и известна истинная величина рёбер одного из оснований (рис.18).

Раскатка фигуры представляет процесс совмещения граней призмы с плоскостью, при которых истинный вид каждой грани получается вращением вокруг её ребра.

Точки A, B, C при раскатке перемещаются по дугам окружностей, которые изображаются на плоскости П2 прямыми, перпендикулярными к проекциям рёбер призмы. Вершины развёртки строятся следующим образом: из точки A2 радиусом R1=A1B1 (истинная длина AB) делаем засечку на прямой B2B0, перпендикулярной B2B2¢. Из построенной точки B0 радиусом R2=B1C1 делается засечка на прямой C2C0^C2C2¢. Затем засечкой из точки C0 радиусом R3=A1C1 на прямой A2A0^A2A2¢. Получаем точку A0. Точки A2B0C0A0 соединяют прямыми. Из точек A0B0C0 проводим линии, параллельные рёбрам (A2 A2¢), откладываем на них истинные величины боковых рёбер А2A¢, B2B¢, C2C¢. Соединяем точки A¢B¢C¢A¢ отрезками прямых.

1.6.2. Развёртки кривых поверхностей.

Теоретически можно получить точную развёртку, т. е. развёртку, в точности повторяющую размеры развёртываемой поверхности. Практически, при выполнении чертежей, приходится мириться с приближённым решением задачи, если предположить, что отдельные элементы поверхности аппроксимируются отсеками плоскостей. При таких условиях выполнение приближённых развёрток цилиндра и конуса сводится к построению развёрток вписанных в них (или описанных) призмы и пирамиды.

На рис.19 приведён пример выполнения развёртки конуса.

Вписываем в конус многогранную пирамиду. Из точки S проводим дугу радиусом, равным истинной величине образующей конуса (S212) и на дуге откладываем хорды 1121; 2, заменяющие дуги 1121;2

Для нахождения любой точки на развёртке необходимо через заданную точку (A) провести образующую, найти место этой образующей на развёртке (2B=21B1), определить истинную величину отрезка SA или AB и отложить его на образующей на развёртке. Любая линия на поверхности состоит из непрерывного множества точек. Найдя на развёртке необходимое количество точек способом, описанным для точки A и выполнив обводы этих точек, получим линию на развёртке. При построении развёрток наклонных цилиндрических поверхностей применимы способы нормального сечения и раскатки.

Любую неразвёртываемую поверхность также можно аппроксимировать многогранной поверхностью с любой заданной точностью. Но развёртка такой поверхности не будет непрерывной плоской фигурой, так как эти поверхности не развёртываются без разрывов и складок.

1.6.3. Построение плоскости, касательной
к поверхности в данной точке.

Для построения касательной плоскости к поверхности в заданной точке (на рис.20 точка A) необходимо на поверхности через точку A провести две произвольные кривые a и b, затем в точке A построить две касательные t и t¢ к кривым a и b. Касательные определят положение касательной плоскости a к поверхности b.

На рис.21 построена поверхность вращения a. Требуется провести касательную плоскость в точке A, принадлежащей a.

Для решения задачи через точку А проводим параллель a и строим касательную t к ней в точке А (t1;t2).

В качестве второй кривой, проходящей через точку А, возьмём меридиан. На рис.21 он не изображён. Решение упростится, если меридиан вместе с точкой А повернуть вокруг оси до совпадения его с главным меридианом. При этом точка А займёт положение А¢. Затем через точку А¢ провести касательную t¢¢ к главному меридиану до пересечения её с осью в точке B. Вернув меридиан в прежнее положение, проводим касательную t¢ к этому меридиану через точку А и неподвижную точку B на оси вращения (t1¢;t2¢). Касательные t и t¢ определят касательную плоскость.

При проведении касательной плоскости к линейчатой поверхности за одну из касательных, определяющих касательную плоскость, можно взять образующую t поверхности (рис.22). В качестве второй – можно взять касательную t¢ к параллели (если это цилиндр или конус) или касательную к любой кривой, проведённой через заданную точку коноида, цилиндроида, косой плоскости. Кривую легко построить, рассекая поверхность проецирующей плоскостью, проходящей через заданную точку.

2.1. Цель работы:

Закрепить программный материал по разделам «Поверхность» и «Развёртки» и получить навыки в решении задач построения очерков, линий пересечения и развёрток поверхностей.

2.2. Задание:

На чертеже заданы две пересекающиеся поверхности. Поверхности заданы координированными проекциями геометрической части определителя.

Необходимо:

Используя координаты геометрической части определителя, нанести проекции определителя на чертеже, соединить необходимые точки для полу-чения геометрических фигур определителя;

Построить очерки заданных поверхностей по проекциям геометриче-ской части определителя;

Построить линию пересечения поверхностей;

Построить развёртку одной из поверхностей с нанесением линии пере-сечения (по указанию преподавателя);

Провести касательную плоскость к одной из поверхностей в точке, ука-занной преподавателем;

Выполнить макет пересекающихся поверхностей.

Работа выполняется сначала на миллиметровке формата А2, затем на бумаге «Ватман» формата А2. Чертёж должен быть оформлен в соответствии с ГОСТ ЕСКД. Основная надпись выполняется по форме 1.

При выполнении работы используются лекции, материалы практических занятий и рекомендованная литература.

Варианты заданий даны в приложении.

2.3. Порядок выполнения задания.

Студент получает вариант задания, соответствующий номеру по списку в журнале группы, и работает над заданием четыре недели.

Через неделю после получения задания студент предъявляет преподавателю выполненные на миллиметровке формата А2 построения геометрической части определителей и очерков заданных поверхностей.

Через две недели предъявляется чертёж, дополненный построениями линии пересечения поверхностей и касательной плоскостью.

В течение третьей недели работа на миллиметровке формата А4 завершается построением развёртки одной из поверхностей с нанесением на ней линии пересечения поверхностей.

В течение четвёртой недели выполняется макет пересекающихся поверхностей.

Выполняемая работа предъявляется преподавателю, ведущему практическое занятие. По законченному построению на миллиметровке проверяется усвоение студентом изученного материала.

При решении позиционной задачи построения линии пересечения поверхностей применяется метод сечения. В качестве «посредников» выбирают секущие плоскости или сферы. Следует обратить внимание на рассмотренные выше частные случаи (способ секущих плоскостей и способ сфер), которые дают наиболее простое решение задачи. При необходимости прибегнуть к комбинации этих способов.

При выполнении развёртки поверхности необходимо изучить построения, выполняемые методом нормального сечения и методом раскатки, а также методы построения приближённых и условных развёрток и использовать в работе наиболее рациональный способ.

При проведении касательной плоскости к поверхности в заданной точке достаточно построить на поверхности две кривые линии, проходящие через точку, и провести к этим линиям касательные в заданной точке, помня, что касательная к плоской кривой линии проецируется касательной к её проекции.

ЛИТЕРАТУРА.

1. Виницкий геометрия. М.: Высшая школа, 1975.

2. Гордон геометрия. М.: Наука, 1975.

3. Поверхности. Методические указания. /Составил, / Саратов, СГТУ, 1990.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

варианта	Обозначе - ние точек	Координаты точек	Словесная информация
					1. Гиперболический параболоид Направляющие прямые-AB и CD Плоскость параллелизма - П2 2. Фронтально проецирующий цилиндр: Ось вращения – I I¢ Образующая - MN
					Вершина – S Основание – AB 2. Усечённый конус: Нижнее основание – CF 3. Верхнее основание – DE
					Ось вращения t ^ П1 Образующая – CD 2. Гиперболоид: Ось вращения i ^ П1 Образующая – AB
					1. Поверхность вращения: Ось вращения-KK¢ Образующая - фронтальная дуга (О - центр вращения ОА - радиус) 2. Цилиндр: Ось вращения-ММ¢ Образующая - LL¢

					1. Цилиндр: Ось вращения – I I¢ Образующая – EF 2. Пирамида: Вершины пирамиды – A, B,C, D
					1. Гиперболический параболоид Направляющие прямые AB, CD Плоскость параллелелизма. – П2 2. Полусфера: Центр – О Радиус – ОК
	A 1.5.6				1. Часть сферы (от R до R¢) Центр – О Радиус – ОR = ОR¢ 2. Коноид: направляющая прямая – ОА, BC-направляющая кривая проекции которой: на П2- прямая, на П1-дуга (центр - О, радиус – OB).П1-плоскость параллелизма.
					1. Пирамида: Вершины – S, A, B, C. 2. Коноид: Направляющая прямая – EF Направляющая кривая – RR¢, проекции которой: на П2-дуга (О¢-центр, O¢R =O¢R¢- радиус), на П1-дуга (О - центр, OR =OR¢- радиус), П1-плоскость паралле-лизма.
	A 1.5.7				1. Цилиндр: Образующая – CD 2. Коноид: Направляющая прямая – АВ Направляющая окружность принадлежит плоскость П1. О – центр, ОЕ – радиус, П2 – плоскость параллелизма.
					1. Торовая поверхность: Образующая окружность принадлежит пл. П1. О – центр, ОС - радиус. 2. Линейчатая поверхность: Образующая – ММ¢ Направляющая дуга-KDM (О¢- центр, О¢D-радиус)
					1. Гиперболоид: Ось вращения – I I¢ Образующая – АВ 2. Цилиндр: Образующая – NM Направляющая окружность фронтальная (О-центр, ОN - радиус).
	A 1.5.8 B 1.5.9				1. Цилиндр: Образующая – CD Ось вращения t ^ П1 2. Гиперболоид: Ось вращения i ^ П1 Образующая – АВ
	A 1.5.10				1. Цилиндр: Ось вращения – I I¢ Образующая – АВ Ось вращения – ТТ¢ Образующая окружность принадлежит плоскости П1 (О – центр, ОС – радиус)
	O 1.5.11				1. Полусфера: (О- центр, ОК - радиус) 2. Коноид: Направляющая прямая – LM Направляющая окружность принадлежит пл. П1 (О - центр, ОК - радиус) П2- плоскость параллелизма

					1. Призма: ВВ¢ - рёбра. Ось вращения - I I¢ Образующая дуга окружности (Центр- О2,
					1. Гиперболоид: Ось вращения - I I¢ Образующая- АВ Ось вращения - ОS Радиус основания - ОС
					1. Гиперболический параболоид Направляющие- АВ и CD П1- плоскость параллелизма Ось вращения - SI Образующая- SE
					1. Коноид: Направляющая прямая - АВ Направляющая окружность принадлежит пл. П1 Центр- О, радиус - ОС П2- плоскость параллелизма 2. Полусфера: Центр- О, радиус - ОС
					1. Цилиндр: Направляющая окружность принадлежит пл. П2 (Центр- О, радиус - ОА), Образующая- ОА Ось вращения - CD Образующая- CB
					1. Призма: ВВ¢- рёбра Ось вращения - EF Образующая- ED
					1. Коноид: Направляющая прямая - АВ Направляющая дуга, принадлежащая П1- MN Центр- О. Радиус - ОМ П2- плоскость параллелизма 2. Полуцилиндр: Образующая- CD
					1. Коноид: Направляющая прямая - АВ Направляющая дуга, принадлежащая П1- CD (центр- О, радиус - ОС) E2F2- следы плоскости параллелизма 2. Цилиндр: Ось вращения - I I¢ Образующая- MN
					(Центр- О, радиус - OR) Ось вращения - ВК Образующая- АВ
					OS - ось вращения, AS - образующая Ось вращения - CD Образующая- СВ
					1. Полусфера: Радиус - ОС 2. Гиперболоид: Ось вращения - I I¢ Образующая - АВ

Основные понятия и определения

Поверхность как объект инженерного исследования может быть задана следующими основными способами: а) уравнением; б) каркасом; в) определи гелем; г) очерком.

Составлением уравнений поверхностей занимается аналитическая геометрия; она рассматривает поверхность как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению вида F (х,у, z) = 0.

В начертательной геометрии поверхность на чертеже задается каркасом, определителем, очерком.

При каркасном способе поверхность задастся совокупностью некоторого количества линий, принадлежащих поверхности. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности рядом параллельных плоскостей. Этот способ используется при проектировании кузовов автомобилей, в самолето - и судостроении, в топофафии и т. п.

Поверхность, образованная движущейся в пространстве линией, на чертеже может быть задана определителем поверхности.

Определителем поверхности называется совокупность геометрических фигур и связей между ними. позволяющих однозначно образовать поверхность в пространстве и задать ее на чертеже.

Способ образования поверхности движущейся в просфанстве линией называют кинематическим.

Линию, образующую при своем движении в пространстве данную поверхность называют образующей (производящей).

Образующая при своем движении может изменять свою форму или оставаться неизменной. Закон перемещения образующей можно, в частности, задать неподвижными линиями, на которые при своем движении опирается образующая. Эти линии называются направляющими.

На чертеже при задании поверхности ее определителем строятся проекции направляющих линий, указывается, как находятся проекции образующей линии. Построив ряд положений образующей линии, получим каркас поверхности. Пример образования поверхности кинематическим способом показан на рис. 96.

В качестве образующей а этой поверхности взята плоская кривая. Закон перемещения образующей задан двумя направляющими m и n и плоскостью а . Образующая а скользит по направляющим, все время оставаясь параллельной плоскости a .

Различают геометрическую и алгоритмическую часть определителя поверхности. Определитель имеет следующую форму записи Ф(Г) [ А ] , где Ф - обозначение поверхности; (Г) -геометрическая часть определителя, в ней перечисляются все геометрические фигуры, участвующие в образовании поверхности и задании ее на чертеже; [А ] - алгоритмическая часть определителя - в ней записывается алгоритм формирования поверхности.

Определитель поверхности выявляется путем анализа способов образования поверхности или се основных свойств. В общем случае одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами, поэтому может иметь несколько определителей. Обычно из всех способов образования поверхности выбирают простейший. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра может быть образована четырьмя способами (рис. 97):

а) как след, оставляемый в пространстве прямой а при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,а).

Определитель поверхности - Ф (а,m) [ A 1 ] :

б) как след, оставляемый в пространстве кривой линией b при ее вращении вокруг оси m (рис. 97,6).

Определитель поверхности - Ф (b,m) [ A 2 ] ;

в) как след, оставляемый в пространстве окружностью с при поступательном перемещении ее центра О вдоль оси m . при этом плоскость окружности все время остается перпендикулярной к этой оси (рис. 97,в).

Определитель поверхности - Ф (а,m) [ A 3 ] :

г) как огибающую всех положений сферической поверхности р постоянного радиуса, центр которой перемещается по оси m (рис.97,г).

Определитель поверхности -Ф (p,m) [ A 4 ].

Наиболее простым из рассматриваемых будет определитель Ф (а,m) [ A 1 ] .

Задание поверхности на чертеже каркасом или определителем не всегда обеспечивает наглядность ее изображения. В некоторых случаях поверхность целесообразнее задавать ее очерком.

Очерком поверхности называется проекция проецирующей цилиндрической поверхности, огибающей заданную поверхность.

По известному уравнению поверхности или се определителю, или очерку всегда можно построить каркас поверхности.

Многообразие поверхностей требует их систематизации. Для поверхностей, образованных кинематическим способом в основу систематизации положен их определитель.

В зависимости от вида образующей поверхности разделяются на два класса:

класс 1 - поверхности нелинейчатые (образующая - кривая линия);

класс 2 - поверхности линейчатые (образующая - прямая линия).

Поверхности нелинейчатые

Поверхности нелинейчатые подразделяют на поверхности с образующей переменного вида (изменяющей свою форму в процессе движения) и на поверхности с образующей постоянного вида.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей переменного вида относятся:

1. Поверхность общего вида . Такая поверхность образуется перемещением образующей переменного вида а по криволинейной направляющей т (рис. 98).

2. Каналовая поверхность . Эта поверхность образуется движением плоской замкнутой линии, плоскость которой определенным образом ориентирована в пространстве (рис. 99).

Площадь, ограниченная образующей, монотонно изменяется в процессе ее движения но направляющей. Например, каналовую поверхность имеет переходный участок, соединяющий два трубопровода разной формы.

3. Циклическая поверхность - частный случай каналовой поверхности, когда образующая - окружность, радиус которой монотонно изменяется (рис. 100).

Примером циклической поверхности может быть корпус духового музыкального инструмента.

Нелинейчатые поверхности с образующей постоянного вида

К нелинейчатым поверхностям с образующей постоянного вида относятся:

1. Поверхность общего вида . Такая поверхность может быть образована движением произвольной кривой линии а по направляющей m (рис. 101).

2. Трубчатая поверхность . Образующей трубчатой поверхности является окружность постоянного радиуса. Плоскость окружности при ее движении остается перпендикулярной к направляющей (рис. 102).

Примером трубчатой поверхности может быть поверхность проволоки круглого сечения.

Поверхности линейчатые

Линейчатые поверхности образуются движением прямой (образующей) по заданному закону. В зависимости от закона движения образующей получаем различные линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности с тремя направляющими

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся:

1. Поверхность косого цилиндра . Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по трем криволинейным направляющим (рис. 103).

2. Поверхность дважды косого цилиндроида . Эта поверхность образуется в том случае, когда две направляющие кривые, а третья -прямая линия (рис. 104).

3. Поверхность дважды косого коноида получается в том случае, когда одна из направляющих - кривая, а две других - прямые линии (рис. 105).

4. Поверхность однополостного гиперболоида образуется в случае, когда направляющие - три скрещивающиеся прямые, параллельные одной плоскости. Пример. Найти недостающие проекции точек А" и В" принадлежащих поверхности однополостного гиперболоида (рис. 106).

P e ш е н и е. Для определения недостающей проекции точки, воспользуемся признаком принадлежности ее поверхности: точка принадлежит поверхности; если она принадлежит какой-либо линии этой поверхности.

Для данной линейчатой поверхности при построении проекций образующей сначала задается ее горизонтальная проекция, а затем находится фронтальная. Поэтому через известную горизонтальную проекцию точки A" проводим проекцию образующей а" 2 , определяем ее фронтальную проекцию а 2 " , на которой по линии связи найдем искомую фронтальную проекцию точки A" .

Для определения недостающей горизонтальной проекции точки В" выполним следующие построения:

1. Построим ряд образующих заданной поверхности a 1 ,a 2 ,a 3 ,a 4 .

2. На фронтальной плоскости проекций через известную проекцию точки В" проведем проекцию вспомогательной линии b" принадлежащей заданной поверхности и пересекающей образующие.

3. По известным фронтальным проекциям точек пересечения проекции линии b" с образующими а 1 ", а 2 ", а 3 ", а 4 " найдем горизонтальные проекции этих точек. Соединив их плавной линией, построим горизонтальную проекцию вспомогательной линии b" на которой по линии связи найдем искомую проекцию точки В" .

К линейчатым поверхностям с тремя направляющими относятся, например, поверхности гребных винтов судов и пропеллеров самолетов. В архитектуре и строительстве они используются при возведении крытых зданий стадионов, рынков, вокзалов.

Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма (поверхности Каталана)

К линейчатым поверхностями с двумя направляющими плоскостью параллелизма относятся:

1. Поверхность прямого цилиндроида . Такая поверхность может быть образована движением прямолинейной образующей по двум направляющим m и n в том случае, когда они - гладкие кривые линии, причем одна из них - плоская кривая, плоскость которой β перпендикулярна плоскости параллелизма a (n ⊂ β, β ⊥ a) (рис. 107).

2. Поверхность прямого коноида . Эта поверхность получается в том случае, когда одна направляющая - кривая линия, а вторая -прямая, причем она перпендикулярна плоскости параллелизма

a(n ⊥ a) (рис. 108). Поверхность прямого коноида используется в гидротехническом строительстве для формирования поверхности устоев мостовых опор.

3. . Такая поверхность образуется в том случае, когда две направляющие - скрещивающие прямые (рис. 109). Поверхность косой плоскости применяется в инженерно - строительной практике для формирования поверхностей откосов, насыпей, железнодорожных и автомобильных дорог, набережных, гидротехнических сооружений в местах сопряжения имеющих различные углы наклона.

Линейчатые поверхности с одной направляющей (торсы)

Торсы являются развертываемыми поверхностями - они могут быть совмещены с плоскостью без складок и разрывов. К торсовым поверхностям относятся:

1. Поверхность с ребром возврата . Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, во всех своих положениях касательной к пространственной кривой, называемой ребром возврата.

2. Цилиндрическая поверхность . Данная поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и остающейся параллельной своему исходному состоянию (рис.110).

3. Коническая поверхность . Эта поверхность образуется движением прямолинейной образующей, скользящей по кривой направляющей и проходящей во всех своих положениях через одну и ту же неподвижную точку S (рис. 111).

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую вращением какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой - оси вращения поверхности .

Плоскости, перпендикулярные оси вращения, пересекают поверхность по окружностям - параллелям. Наименьшую параллель называют горлом, наибольшую - экватором.

Па рис. 112 показана поверхность вращения. Здесь образующей является плоская кривая ABCD , ось вращения i расположена в одной плоскости с этой кривой.

Линии, по которым плоскости, проходящие через ось вращения, пересекают поверхность называют меридианами. Каждый меридиан разделяется на две симметричные относительно оси вращения линии, называемые полумеридианами. Меридиан, расположенный в плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекций, называют главным меридианом.

Основные свойства поверхности вращения:

1. Отрезок меридиана между двумя точками поверхности есть кратчайшее расстояние между этими точками.

2. Все меридианы равны между собой.

3. Каждая из параллелей поверхности вращения пересекает меридианы под прямым углом.

4. Любая из нормалей к поверхности вращения пересекает ось вращения поверхности.

Поверхности вращения на чертеже удобно задавать очерками, проекциями ее характерных линий и точек. Фронтальным очерком поверхности вращения является фронтальная проекция главного меридиана, а горизонтальным - горизонтальная проекция экватора.

Рассмотрим основные виды поверхностей вращения:

1. Цилиндр вращения . Эта поверхность может быть получена вращением прямой, параллельной оси вращения i (рис. 113).

2. Конус вращения . Поверхность конуса вращения может быть получена вращением прямой, пересекающей ось вращения i (рис. 114).

3. Сфера . Образующая сферы - окружность, центр которой О находится на оси вращения i (рис. 115).

4. Top. Образующая тора - окружность или ее дуга. Ось вращения i лежит в плоскости этой окружности, но не проходит через ее центр (рис.116, 117).

Различают открытый тор (круговое кольцо) (рис. 116,117,а), закрытый (рис. 117, б), самопересекающийся (рис. 117, в, г).

Образующей для открытого (рис. 116,117,а) и закрытого тора (рис. 117,6) служит окружность, для самопересекающегося (рис. 117, в, г) -дуга окружности.

5. Параболоид вращения . Такая поверхность образуется при вращении параболы вокруг ее оси (рис. 118). Поверхность параболоида используется в параболических антеннах и зеркалах рефлекторов.

6. Гиперболоид вращения . Эта поверхность образуется при вращении гиперболы вокруг оси. Различают двуполостный и однополостный гиперболоид вращения . Для двуполостного гиперболоида вращения осью вращения служит действительная ось гиперболы (рис. 119),

для однополостного гиперболоида (рис. 120) - ее мнимая ось. Однополостный гиперболоид вращения также может быть образован вращением прямой линии в случае, если образующая и ось вращения -скрещивающиеся прямые.

Положение точки на поверхности вращения определяется с помощью окружности, которая проходит на поверхности вращения через эту точку (см. рис.114-116). В случае линейчатых поверхностей вращения (цилиндр, конус) возможно использование для этой цели прямолинейных образующих (см. рис. 113,114).

Винтовые линейчатые поверхности

Винтовой линейчатой поверхностью называется поверхность. образуемая винтовым перемещением прямой .

Винтовое перемещение образующей AВ характеризуется вращением ее вокруг оси i и одновременным поступательным движением, параллельным этой оси (рис. 121). Закон перемещения образующей определяется видом винтовой линии (ее направлением, диаметром и шагом) и характером перемещения образующей по направляющей.

На практике чаще всего встречаются винтовые линейчатые поверхности с постоянным шагом направляющей линии. Такие винтовые поверхности называются геликоидами.

Если угол наклона образующей к оси вращения равен 90°, то геликоид называется прямым, если этот угол произвольный, отличный от 0 и 90°, то геликоид называется косым (наклонным). Прямые и косые геликоиды могут быть открытыми и закрытыми. У открытого геликоида образующая и ось вращения - скрещивающиеся прямые, у закрытого пересекающиеся прямые. На рис. 121 построен каркас прямого закрытого геликоида.

Винтовые поверхности широко используются в технике. Винты, пружины, сверла, шнеки для перемещения сыпучих материалов, винтовые лестницы - все они имеют винтовые поверхности.

Каждая поверхность одной из своих сторон может быть направлена к наблюдателю и тогда эта сторона будет видимой. В противном случае сторона поверхности будет не видна из точки наблюдения. Может случиться так, что только часть стороны поверхности будет видимой. В этом случае на поверхности можно построить линию, разделяющую видимую и невидимую чисти поверхности. Линией очерка будем называть линию на поверхности, отделяющую видимую часть поверхности или грани от невидимой ее части.

Рис. 9.5.1. Проекции линий очерка поверхности

Рис. 9.5.2. Проекции сетки полигонов и линий очерка

На рис. 9.5.1 приведены линии очерка поверхности. На рис. 9.5.2 показаны линии очерка совместно с сеткой поверхности.

При переходе через линию очерка нормаль поверхности меняет направление по отношению к линии взгляда. В точках линии очерка нормаль поверхности ортогональна линии взгляда. В общем случае у поверхности линий очерка может быть несколько. Каждая линия очерка является пространственной кривой. Она или замкнута, или оканчивается на краях поверхности. Для разных направлений взгляда существует своя совокупность линий очерка, поэтому при повороте поверхности линии очерка необходимо строить заново.

Параллельные проекции.

Для некоторых поверхностей, например, сферы, цилиндра, конуса, линии очерка строятся достаточно просто. Рассмотрим общий случай построения линий очерка поверхности.

Пусть требуется найти линии очерка поверхности, описываемой радиус-вектором Каждая точка линии очерка для параллельной проекции на плоскость (9.2.1) должна удовлетворять уравнению

где - нормаль к поверхности, для которой строится линия очерка. Для поверхности, описываемой радиус-вектором нормаль также является функцией параметров и . Скалярное уравнение (9.5.1) содержит два искомых параметра u, v. Если задать один из параметров, то другой можно найти из уравнения (9.5.1), т. е. один из параметров является функцией от другого. Для равноправия параметров их можно представить в виде функций некоторого общего параметра

Результатом решения уравнения (9.5.1) является двухмерная линия

на поверхности Эта линия и есть линия очерка поверхности.

Мы построим линию очерка по упорядоченной совокупности точек, удовлетворяющих уравнению (9.5.1). Точками мы называем пару параметров поверхности, являющихся координатами двухмерных точек на параметрической плоскости. Имея отдельные точки линии очерка, расположенные в порядке их следования и на определенном расстоянии друг от друга, всегда можно найти любую другую точку линии. Например, для нахождения точки, лежащей между двумя заданными соседними точками линии очерка, проведем плоскость перпендикулярно соединяющему соседние точки отрезку и найдем общую точку для поверхности и плоскости, решив три скалярных уравнения пересечения совместно с уравнением (9.5.1). Положение плоскости на отрезке можно задать параметром линии. По крайним точкам отрезка определяется нулевое приближение для искомой точки. Таким образом, совокупность отдельных двухмерных точек линии очерка поверхности служит как бы нулевым приближением этой линии, по которому одним из численных методов всегда можно найти точное положение точки. Алгоритм построения линий очерка поверхности можно разбить на два этапа.

На первом этапе найдем хотя бы по одной точке на каждой линии очерка. Для этого, шагая по поверхности и исследуя знак скалярного произведения в соседних точках, найдем пары точек поверхности, в которых меняет знак. Взяв в качестве нулевого приближения средние значения параметров этих точек, одним из численных методов найдем параметры точки линии очерка. Пусть, например, при переходе из точки в близкую к ней точку меняет знак. Тогда, положив с помощью итерационного процесса метода Ньютона

или итерационного процесса

найдем параметры одной из точек линии очерка. Производные нормали определяются формулами Вейнгартена (1.7.26), (1.7.28). Таким способом получим набор точек линий очерка. Точки из полученного на первом этапе набора никак не связаны друг с другом и могут принадлежать различным линиям очерка. Важно только, чтобы от каждой линии очерка в наборе присутствовала хотя бы одна точка.

На втором этапе берем любую точку из имеющегося набора и, двигаясь от нее с некоторым шагом сначала в одну сторону потом в другую, находим точку за точкой искомую совокупность точек линии очерка. Направление движения дает вектор

где - частные производные нормали - частные производные радиус-вектора поверхности по параметрам .

Знак перед слагаемым совпадает со знаком скалярного произведения Шаг движения вычислим в соответствии с кривизнами поверхностей в текущей точке по формуле (9.4.7) или по формуле (9.4.8). Если

то по формуле (9.4.7) дадим приращение параметру и и по формуле (9.5.4) найдем соответствующий ему параметр v поверхности. В противном случае по формуле (9.4.8) дадим приращение параметру и и по формуле (9.5.5) найдем соответствующий ему параметр и поверхности. Движение по кривой закончим, когда дойдем до края одной из поверхностей или когда линия замкнется (новая точка окажется на расстоянии текущего шага от точки старта).

В процессе движения будем проверять, не лежат ли вблизи пути следования точки из набора, полученного на первом этапе. Для этого по пути следования будем вычислять расстояние от текущей точки кривой очерка до каждой точки из набора, полученного на первом этапе. Если вычисленное расстояние до какой-либо точки набора соизмеримо с текущим шагом движения, то эту точку удалим из набора как более ненужную. Так получим совокупность отдельных точек одной линии очерка. При этом в наборе точек, полученном на первом этапе, не будет содержаться ни одной точки данной линии. Если в наборе останутся еще точки, то данная поверхность имеет, по крайней мере, еще одну линию очерка.

Рис. 9.5.3. Линии очерка тела

Рис. 9.5.4. Тело вращения

Совокупность ее точек найдем, взяв любую точку из набора и повторив второй этап построения. Построение линий закончим, когда в наборе не останется ни одной точки. Описанным способом построим линии очерка всех граней модели.

Линии очерка граней являются линиями очерка их поверхностей. Линия очерка тела будет видимой, если она не закрыта гранью, лежащей ближе к точке наблюдения. На рис. 9.5.3 приведена линия очерка тела вращения, показанного на рис. 9.5.4. Проекция линии очерка может иметь изломы и точки возврата, но сама линия очерка является гладкой.

Точки излома у проекции возникают там, где касательная линия очерка коллинеарна вектору

Для построения проекции линии очерка будем строить ее полигон, проекцию которого и возьмем в качестве проекции линии очерка.

Центральные проекции.

Линии очерка в центральных проекциях удовлетворяют уравнению

(9.5.7)

где - нормаль поверхности - радиус-вектор точки наблюдения. Линия очерка для центральной проекции отличается от линии очерка для параллельной проекции, хотя алгоритмы их построения аналогичны. Вместо постоянного вектора в (9.5.7) присутствует вектор , направление которого зависит от проецируемой точки. Линия очерка для центральной проекции также представляет собой некоторую кривую на поверхности, описываемую зависимостями (9.5.3), и является пространственной кривой. Эта линия должна быть спроецирована на плоскость по правилам построения центральной проекции пространственной линии.

На рис. 9.5.5 приведена параллельная проекция линий очерка тора, а на рис. 9.5.6 для сравнения приведена центральная проекция линий очерка тора. Как можно видеть, эти проекции отличаются.

Рис. 9.5.5. Параллельная проекция линий очерка тора

Рис. 9.5.6. Центральная проекция линий очерка тора

Алгоритм построения линий очерка для центральной проекции поверхности, описываемой радиус-вектором отличается от алгоритма построения линий очерка для параллельной проекции этой поверхности тем, что на первом этапе будем искать точки поверхности, в которых меняет знак скалярное произведение . Для определения этих точек вместо формул (9.5.4) и (9.5.5) следует использовать формулы

и формулы

соответственно. В остальном алгоритм построения линий очерка для центральной проекции поверхности не отличается от алгоритма построения линий очерка для параллельной проекции.

На рис. 354 изображен прямой круговой конус, ось которого параллельна пл. π 2 и наклонена к пл. π 1 Очерк его фронтальной проекции задан: это равнобедренный треугольник S"D"E". Требуется построить очерк горизонтальной проекции.

Искомый очерк составляется из части эллипса и двух касательных к нему прямых. В самом деле, конус в заданном его положении проецируется на пл. π 1 при помощи поверхности эллиптического цилиндра, образующие которого проходят через точки окружности основания конуса, и при помощи двух плоскостей, касательных к поверхности конуса.

Эллипс на горизонтальной проекции можно построить по двум его осям: малой D"E" и большой, равной по своей величине D"E" (диаметру окружности основания конуса). Прямые S"B" и S"F" получатся, если провести из точки S" касательные к эллипсу. Построение этих прямых заключается в отыскании проекций тех образующих конуса, по которым происходит соприкосновение конуса и упомянутых выше плоскостей. Для этого использована сфера, вписанная в конус. Так как проецирующая на π 1 плоскость одновременно касается конуса и сферы, то можно провести касательную из точки S" к окружности - проекции экватора сферы - и принять эту касательную за проекцию искомой образующей. Построение можно начать с отыскания точки А" - фронтальной проекции одной из точек искомой образующей. Точка А" получается при пересечении фронтальных проекций: 1) окружности касания конуса и сферы (прямая M"N") и 2) экватора сферы (прямая К"L"). Теперь можно найти проекцию А" на горизонтальной проекции экватора и через точки S" и А" провести прямую - горизонтальную проекцию искомой образующей. На этой прямой определяется и точка В, горизонтальная проекция которой (точка В") есть точка касания прямой с эллипсом.

С построением очерков проекций конуса вращения мы встречаемся, например, в таком случае: даны проекции вершины конуса (S", S"), направление его оси (SK), размеры высоты и диаметра основания; построить проекции конуса. На рис. 355 это сделано при помощи дополнительных плоскостей проекций.

Так, для построения фронтальной проекции введена пл. π 3 , перпендикулярная к π 2 и параллельная прямой SK, определяющей направление оси конуса. На проекции S""K"" отложен отрезок S""C"", равный заданной высоте конуса. В точке С"" проведен перпендикуляр к S""C"", и на нем отложен отрезок C""B"", равный радиусу основания конуса. По точкам C"" и B"" получены точки C" и B" и тем самым получена малая полуось C"B" эллипса- фронтальной проекции основания конуса. Отрезок C"A" , равный C""B"", представляет собой большуюполуось этого эллипса. Имея оси эллипса, можно его построить так, как былопоказано на рис. 147.

Для построения горизонтальной проекции введена плоскость проекций π 4 , перпендикулярная к π 1 и параллельная SK. Ход построения аналогичен описанному для фронтальной проекции.

Как же построить очерки проекции? На рис. 356 показан иной, чем на рис. 354, способ проведения касательной к эллипсу - без вписанной в конус сферы.

Сначала радиусом, равным малой полуоси эллипса, из его центра проведена дуга (на рис. 356 это четверть окружности). Определяется точка 2 пересечения этой дуги с окружностью диаметра S"C". Из точки 2 проведена прямая параллельно большой оси эллипса; эта

прямая пересекает эллипс в точках К" 1 и К 2 . Теперь остается провести прямые S"К" 1 и S" К" 2 они являются касательными к эллипсу и входят в очерк фронтальной проекции конуса.

На рис. 357 изображено тело вращения с наклонной осью, параллельной пл. π 2 .Это тело ограничено комбинированной поверхностью, состоящей из двух цилиндров, поверхности кругового кольца и двух плоскостей. Очерк фронтальной проекции этого тела - его главный меридиан.

Очерк горизонтальной проекции верхней цилиндрической части данного тела составляется из эллипса и двух касательных к нему прямых. Прямая А"В" является горизонтальной проекцией образующей цилиндра, по которой проецирующая на π 1 плоскость касается поверхности цилиндра. Это же относится и к очерку проекции нижнего цилиндра (на рис. 357 этот очерк изображен не полностью).

Переходим к более сложной части очерка - промежуточной. Мы должны построить горизонтальную проекцию той пространственной кривой линии, в точках которой проходят проецирующие прямые, касательные к поверхности кругового кольца и перпендикулярные к пл. π 1 . Фронтальная проекция каждой точки такой кривой построена таким способом, как это было сделано для точки А" на рис. 354,- при помощи вписанных сфер. Горизонтальные проекции точек определяются на проекции экватора соответствующей сферы. Так построена, например, точка D 1 (D" 1 , D" 1).

Точки К" 1 и К" 2 получаются по точке К" 1 (она же К" 2) на экваторе сферы с центром О, а эта точка К" 1 (К" 2) получается при проведении линии связи, касательной к построенной кривой B"D" 1 C".

Итак, кривая B"D" 1 K" 1 содержит фронтальные проекции точек, горизонтальные проекции которых В", D" 1 , К" 1 входят в очерк горизонтальной проекции рассматриваемого тела.

Вопросы к §§ 53-54

1. Что называется плоскостью, касательной к кривой поверхности в данной точке этой поверхности?
2. Что называется обыкновенной (или правильной) точкой поверхности?
3. Как построить плоскость, касательную к кривой поверхности в некоторой ее точке?
4. Что называется нормалью к поверхности?
5. Как построить плоскость, касательную к сфере в какой-либо точке на сфере?
6. В каком случае кривая поверхность относится к числу выпуклых?
7. Может ли плоскость, касательная к кривой поверхности в какой-либо точке этой поверхности, пересекать последнюю? Укажите пример пересечения по двум прямым.
8. Как используются сферы, вписанные в поверхность вращения, ось которой параллельна пл. π 2 , для построения очерка проекции этой поверхности на пл. π 1 , по отношению к которой ось поверхности вращения наклонена под острым углом?
9. Как провести касательную к эллипсу из точки, лежащей на продолжении его малой оси?
10. В каком случае очерки проекций цилиндра вращения и конуса вращения будут совершенно одинаковыми на пл. π 1 , и пл. π 2 ?