Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений. Учебное пособие: Математический анализ

25.03.2024

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Математический анализ.

Практикум.

Для студентов ВУЗов по специальности:

«Государственное и муниципальное управление»

Т.З. Павлова

Колпашево 2008

Глава 1. Введение в анализ

1.1 Функции. Общие свойства

1.2 Теория пределов

1.3 Непрерывность функции

2.1 Определение производной

2.4 Исследование функций

2.4.1 План полного исследования функции

2.4.2 Примеры исследования функции

2.4.3. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

2.5 Правило Лопиталя

3.1 Неопределенный интеграл

3.1.1 Определения и свойства

3.1.2 Таблица интегралов

3.1.3 Основные методы интегрирования

3.2 Определенный интеграл

3.2.2 Методы вычисления определенного интеграла

Глава 4. Функции нескольких переменных

4.1 Основные понятия

4.2 Пределы и непрерывность функций нескольких переменных

4.3.3 Полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям

Глава 5. Классические методы оптимизации

6.1 Функция полезности.

6.2 Линии безразличия

6.3 Бюджетное множество

Задания для домашней контрольной работы

1.1 Функции. Общие свойства

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.

Аналитическое представление функции:

в явном виде: ;

в неявном виде: ;

в параметрической форме:

разными формулами в области определения :

Свойства.

Четная функция: . Например, функция – четная, т.к. .

Нечетная функция: . Например, функция – нечетная, т.к. .

Периодическая функция: , где T – период функции, . Например, тригонометрические функции.

Монотонная функция. Если для любых из области определения – функция возрастающая, – убывающая. Например, – возрастающая, а – убывающая.

Ограниченная функция. Если существует такое число M, что . Например, функции и , т.к. .

Пример 1. Найти область определения функций.

+ 2 – 3 +

1.2 Теория пределов

Определение 1 . Пределом функции при называется число b, если для любого ( – сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента , начиная с которого выполняется неравенство .

Обозначение: .

Определение 2 . Пределом функции при называется число b, если для любого ( - сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение: .

Определение 3. Функция называется бесконечно малой при или , если или .

Свойства.

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (постоянную, другую бесконечно малую величину) есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно малая.

Определение 4. Функция называется бесконечно большой при , если .

Свойства.

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от деления бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Теорема. (Связь между бесконечно малой величиной и бесконечно большой величиной.) Если функция бесконечно малая при (), то функция является бесконечно большой величиной при (). И, обратно, если функция бесконечно большая при (), то функция является бесконечно малой величиной при ().

Теоремы о пределах.

1. Функция не может иметь более одного предела.

2. Предел алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций:

3. Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

4. Предел степени равен степени предела:

5. Предел частного равен частному пределов, если предел делителя существует:

6. Первый замечательный предел.

Следствия:

7. Второй замечательный предел:

Следствия:

Эквивалентные бесконечно малые величины при :

Вычисление пределов.

При вычислении пределов используют основные теоремы о пределах, свойства непрерывных функций и правила, вытекающие из этих теорем и свойств.

Правило 1. Чтобы найти предел в точке функции, непрерывной в этой точке, надо в функцию, стоящую под знаком предела, вместо аргумента x подставить его предельное значение .

Пример 2. Найти

Правило 2. Если при отыскании предела дроби предел знаменателя равен нулю, а предел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен .

Пример 3. Найти

Правило 3. Если при отыскании предела дроби предел знаменателя равен , а предел числителя отличен от нуля, то предел такой функции равен нулю.

Пример 4. Найти

Часто подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенным выражениям вида

Нахождение предела функции в этих случаях называется раскрытием неопределенности. Для раскрытия неопределенности приходится, прежде чем перейти к пределу, проводить преобразование данного выражения. Для раскрытия неопределенностей используют различные приемы.

Правило 4 . Неопределенность вида раскрывается путем преобразования подпредельной функции т.о., чтобы в числителе и знаменателе выделить множитель, предел которого равен нулю, и, сократив на него дробь, найти предел частного. Для этого числитель и знаменатель либо раскладывают на множители, либо домножают на сопряженные числителю и знаменателю выражения.

Правило 5. Если подпредельное выражение содержит тригонометрические функции, тогда, чтобы раскрыть неопределенность вида используют первый замечательный предел.

Правило 6 . Чтобы раскрыть неопределенность вида при , числитель и знаменатель подпредельной дроби необходимо разделить на высшую степень аргумента и находить далее предел частного.

Возможны результаты:

1) искомый предел равен отношению коэффициентов при старших степенях аргумента числителя и знаменателя, если эти степени одинаковы;

2) предел равен бесконечности, если степень аргумента числителя выше степени аргумента знаменателя;

3) предел равен нулю, если степень аргумента числителя ниже степени аргумента знаменателя.

а)

т.к.

Степени равны, значит, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях, т.е. .

б)

Степень числителя , знаменателя – 1, значит, предел равен

в)

Степень числителя 1, знаменателя – , значит, предел равен 0.

Правило 7 . Чтобы раскрыть неопределенность вида , числитель и знаменатель подпредельной дроби необходимо домножить на сопряженное выражение.

Пример 10.

Правило 8 . Чтобы раскрыть неопределенность вида используют второй замечательный предел и его следствия.

Можно доказать, что

Пример 11.

Пример 12.

Пример 13.

Правило 9 . При раскрытии неопределенностей, подпредельная функция которых содержит б.м.в., необходимо заменить пределы этих б.м. на пределы б.м., эквивалентных им.

Пример 14.

Пример 15.

Правило 10. Правило Лопиталя (см. 2.6).

1.3 Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

1. ;

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода

Устранимый – односторонние пределы существуют и равны;

Неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

Пример 16. Установить характер разрыва функции в точке или доказать непрерывность функции в этой точке.

при функция не определена, следовательно, она не непрерывна в этой точке. Т.к. и, соответственно, , то – точка устранимого разрыва первого рода.

б)

по сравнению с заданием (а) функция доопределена в точке так, что , значит, данная функция непрерывна в данной точке.

При функция не определена;

Т.к. один из односторонних пределов бесконечен, то – точка разрыва второго рода.

Глава 2. Дифференциальное исчисление

2.1 Определение производной

Определение производной

Производная или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Или .

Механический смысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

2.2 Основные правила дифференцирования

Наименование	Функция	Производная
Умножение на постоянный множитель
Алгебраическая сумма двух функций
Произведение двух функций
Частное двух функций
Сложная функция

Производные основных элементарных функций

№ п/п	Наименование функции	Функция и её производная
1	константа
2	степенная функция частные случаи
3	показательная функция частный случай
4	логарифмическая функция частный случай
5	тригонометрические функции
6	обратные тригонометрические

б)

2.3 Производные высших порядков

Производная второго порядка функции

Производная второго порядка функции :

Пример 18.

а) Найти производную второго порядка функции .

Решение. Найдем сначала производную первого порядка .

От производной первого порядка возьмем еще раз производную .

Пример 19. Найти производную третьего порядка функции .

2.4 Исследование функций

2.4.1 План полного исследования функции:

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

Найти область определения и область значений;

Выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность;

Найти точки пересечения с осями координат;

Определить участки знакопостоянства.

2. Асимптоты:

Найти вертикальные асимптоты , если ;

Найти наклонные асимптоты: .

Если любое число, то – горизонтальные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

Найти критические точки, те. точки в которых или не существует;

Определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ;

Определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума.

4. Исследование с помощью :

Найти точки, в которых или не существует;

Найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых и вогнутости – ;

Найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые меняет знак.

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.

2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.

3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).

4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

2.4.2 Примеры исследования функции:

2) Функция нечетная:

3) Асимптоты.

– вертикальные асимптоты, т.к.

Наклонная асимптота .

– точка перегиба.

2) Функция нечетная:

3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет.

Наклонные:

– наклонные асимптоты

4) – функция возрастает.

– точка перегиба.

Схематичный график данной функции:

2) Функция общего вида

3) Асимптоты

– наклонных асимптот нет

– горизонтальная асимптота при

– точка перегиба

Схематичный график данной функции:

2) Асимптоты.

– вертикальная асимптота, т.к.

– наклонных асимптот нет

, – горизонтальная асимптота

Схематичный график данной функции:

2) Асимптоты

– вертикальная асимптота при , т.к.

– наклонных асимптот нет

, – горизонтальная асимптота

3) – функция убывает на каждом из промежутков.

Схематичный график данной функции:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой:

1. Найти производную функции .

2. Найти критические точки функции, в которых или не существует.

3. Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее и наименьшее .

Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке.

25. на промежутке

2) – критические точки

26. на промежутке .

Производная не существует при , но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение .

2.5 Правило Лопиталя

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Т.е. при раскрытии неопределенностей вида или можно использовать формулу:

27.

Глава 3. Интегрально исчисление

3.1 Неопределенный интеграл

3.1.1 Определения и свойства

Определение 1. Функция называется первообразной для , если .

Определение 2. Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где c- произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная неопределенного интеграла:

2. Дифференциал неопределенного интеграла:

3. Неопределенный интеграл от дифференциала:

4. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:

5. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

3.1.2 Таблица интегралов

.1.3 Основные методы интегрирования

1. Использование свойств неопределенного интеграла.

Пример 29.

2. Подведение под знак дифференциала.

Пример 30.

3. Метод замены переменной:

а) замена в интеграле

где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции .

Пример 31.

б) замена в интеграле вида:

Пример 32.

Пример 33.

4. Метод интегрирования по частям:

Пример 34.

Пример 35.

Возьмем отдельно интеграл

Вернемся к нашему интегралу:

3.2 Определенный интеграл

3.2.1 Понятие определенного интеграла и его свойства

Определение. Пусть на некотором интервале задана непрерывная функция . Построим ее график.

Фигура, ограниченная сверху кривой , слева и справа прямыми и снизу отрезком оси абсцисс между точками a и b, называется криволинейной трапецией.

S – область – криволинейная трапеция.

Разделим интервал точками и получим:

Интегральная сумма:

Определение. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций:

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых a, b, c:

4. Если на отрезке , то и

5. Пределы интегрирования можно менять местами, при этом меняется знак интеграла:

7. Интеграл в точке равен 0:

9. (“о среднем”) Пусть y = f(x) – функция, интегрируемая на . Тогда , где , f(c) – среднее значение f(x) на :

10. Формула Ньютона-Лейбница

где F(x) – первообразная для f(x).

3.2.2 Методы вычисления определенного интеграла.

1. Непосредственное интегрирование

Пример 35.

а)

б)

в)

д)

2. Замена переменных под знаком определенного интеграла .

Пример 36.

2. Интегрирование по частям в определенном интеграле .

Пример 37.

а)

б)

д)

3.2.3 Приложения определенного интеграла

Характеристика	Вид функции	Формула
	в декартовых координатах
площадь криволинейного сектора	в полярных координатах
площадь криволинейной трапеции	в параметрической форме
длина дуги	в декартовых координатах
длина дуги	в полярных координатах
длина дуги	в параметрической форме
объём тела вращения	в декартовых координатах
объём тела с заданным поперечным сечением

Пример 38. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: и .

Решение: Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение

Итак, точки пересечения и .

Площадь фигуры найдем, используя формулу

В нашем случае

Ответ: площадь равна (квадратных единиц).

4.1 Основные понятия

Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

Определение. Областью определения функции z называется совокупность пар , при которых функция z существует.

Область определения функции двух переменных представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy. Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве E 3 . Например:

Пример 39. Найти область определения функции.

а)

Выражение, стоящее в правой части имеет смысл только при . Значит, область определения данной функции есть совокупность всех точек, лежащих внутри и на границе круга радиуса R с центром в начале координат.

Область определения данной функции – все точки плоскости , кроме точек прямых , т.е. осей координат.

Определение. Линии уровня функции – это семейство кривых на координатной плоскости , описываемое уравнениями вида .

Пример 40. Найти линии уровня функции .

Решение. Линии уровня данной функции – это семейство кривых на плоскости , описываемое уравнением

Последнее уравнение описывает семейство окружностей с центром в точке О 1 (1, 1) радиуса . Поверхность вращения (параболоид), описываемая данной функцией, становится «круче» по мере ее удаления от оси, которая задается уравнениями x = 1, y = 1. (Рис. 4)

4.2 Пределы и непрерывность функций нескольких переменных.

1. Пределы.

Определение. Число A называется пределом функции при стремлении точки к точке , если для каждого сколь угодно малого числа найдется такое число , что для любой точки верно условие , также верно условие . Записывают: .

Пример 41. Найти пределы:

т.е. предел зависит от , а, значит, он не существует.

2. Непрерывность.

Определение. Пусть точка принадлежит области определения функции . Тогда функция называется непрерывной в точке , если

(1)

причем точка стремится к точке произвольным образом.

Если в какой-либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции . Это может быть в следующих случаях:

1) Функция не определена в точке .

2) Не существует предел .

3) Этот предел существует, но он не равен .

Пример 42. Определить, является ли данная функция непрерывной в точке , если .

Получили, что значит, данная функция непрерывна в точке .

предел зависит от k, т.е. он в данной точке не существует, а значит, функция имеет в этой точке разрыв.

4.3 Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

4.3.1 Частные производные первого порядка

Частная производная функции по аргументу x является обыкновенной производной функции одной переменной x при фиксированном значении переменной y и обозначается:

Частная производная функции по аргументу y является обыкновенной производной функции одной переменной y при фиксированном значении переменной x и обозначается:

Пример 43. Найти частные производные функций.

4.3.2 Частные производные второго порядка

Частные производные второго порядка – это частные производные от частных производных первого порядка. Для функции двух переменных вида возможны четыре вида частных производных второго порядка:

Частные производные второго порядка, в которых дифференцирование производится по разным переменным, называют смешанными производными. Смешанные производные второго порядка дважды дифференцируемой функции равны.

Пример 44. Найти частные производные второго порядка.

4.3.3 Полный дифференциал и его применение к приближенным вычислениям.

Определение. Дифференциал первого порядка функции двух переменных находится по формуле

Пример 45. Найти полный дифференциал для функции .

Решение. Найдем частные производные:

При малых приращениях аргументов x и y функция получает приращение , приблизительно равное dz, т.е. .

Формула для нахождения приближенного значения функции в точке , если известно ее точное значение в точке :

Пример 46. Найти .

Решение. Пусть ,

Тогда используем формулу

Ответ. .

Пример 47. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Имеем

Пример 48. Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию . Получим:

Ответ. .

4.3.4 Дифференцирование неявной функции

Определение. Функция называется неявной, если она задается уравнением , не разрешимым относительно z.

Частные производные такой функции находятся по формулам:

Пример 49. Найти частные производные функции z, заданной уравнением .

Решение.

Определение. Функция называется неявной, если она задается уравнением , не разрешимым относительно y.

Производная такой функции находится по формуле:

Пример 50. Найти производные данных функций.

5.1 Локальный экстремум функции нескольких переменных

Определение 1. Функция имеет максимум в точке , если

Определение 2. Функция имеет минимум в точке , если для всех точек достаточно близких к точке и отличных от нее.

Необходимое условие экстремума. Если функция достигает экстремума в точке , то частные производные от функции обращаются в нуль или не существуют в этой точке.

Точки, в которых частные производные обращаются в нуль или не существуют, называются критическими.

Достаточный признак экстремума. Пусть функция определена в некоторой окрестности критической точки и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

1) имеет локальный максимум в точке , если и ;

2) имеет локальный минимум в точке , если и ;

3) не имеет локального экстремума в точке , если ;

Схема исследования на экстремум функции двух переменных.

1. Найти частные производные функции : и .

2. Решить систему уравнений , и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.

4. Найти экстремумы функции.

Пример 51. Найти экстремумы функции .

1) Найдем частные производные .

2) Решим систему уравнений

4) Найдем частные производные второго порядка и их значения в критических точках: . В точке получим:

значит, в точке экстремума нет. В точке получим:

значит, в точке минимум.

5.2 Глобальный экстремум (наибольшее и наименьшее значение функции)

Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных, непрерывной на некотором замкнутом множестве, достигаются или в точках экстремума, или на границе множества.

Схема нахождения наибольшего и наименьшего значений.

1) Найти критические точки, лежащие внутри области, вычислить значение функции в этих точках.

2) Исследовать функцию на границе области; если граница состоит из нескольких различных линий, то исследование необходимо провести для каждого участка отдельно.

3) Сравнить полученные значения функции и выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 52. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике .

Решение. 1) Найдем критические точки функции, для этого найдем частные производные: , и решим систему уравнений:

Получили критическую точку A. Полученная точка лежит внутри заданной области,

Границу области составляют четыре отрезка: и. найдем наибольшее и наименьшее значение функции на каждом отрезке.

4) Сравним полученные результаты и получим, что в точках .

Глава 6. Модель потребительского выбора

Будем полагать, что имеется n различных товаров. Тогда некоторый набор товаров будем обозначать через n-мерный вектор , где – количество i-того товара. Множество всех наборов товаров Xназывается пространством.

Выбор индивида-потребителя характеризуется отношением предпочтения: считается, что потребитель может сказать о любых двух наборах, какой более желателен, или он не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно: если набор предпочтительнее набора , а набор предпочтительнее набора , то набор предпочтительнее набора . Будем полагать, что поведение потребителя полностью описывается аксиомой индивида-потребителя: каждый индивид-потребитель принимает решение о потреблении, покупках и т.п., исходя из своей системы предпочтений.

6.1 Функция полезности

На множестве потребительских наборов Xопределена функция , значение которой на потребительском наборе равно потребительской оценке индивида для этого набора. Функция называется функцией полезности потребителя или функцией потребительского предпочтения. Т.е. каждый потребитель имеет свою функцию полезности. Но все множество потребителей можно разделить на определенные классы потребителей (по возрасту, имущественному положению и т.п.) и каждому классу приписать некоторую, может быть, осредненную функцию полезности.

Т.о., функция является потребительской оценкой или уровнем удовлетворения потребностей индивида при приобретении данного набора . Если набор предпочтительнее набора для данного индивида, то .

Свойства функции полезности.

Первые частные производные функции полезности называются предельными полезностями продуктов. Из этого свойства следует, что возрастание потребления одного продукта при неизменном потреблении других продуктов приводит к росту потребительской оценки. Вектор является градиентом функции , он показывает направление наибольшего роста функции. Для функции ее градиент представляет собой вектор предельных полезностей продуктов.

Т.е. предельная полезность любого товара уменьшается с ростом потребления.

Т.е. предельная полезность каждого продукта увеличивается с ростом количества другого продукта.

Некоторые виды функций полезности.

1) Неоклассическая: .

2) Квадратическая: , где матрица отрицательно определена и для .

3) Логарифмическая функция: .

6.2 Линии безразличия

В прикладных задачах и моделях потребительского выбора часто используется частный случай набора из двух товаров, т.е. когда функция полезности зависит от двух переменных. Линия безразличия – это линия, соединяющая потребительские наборы, имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивида. По сути своей линии безразличия представляют собой линии уровня функции . Уравнения линий безразличия: .

Основные свойства линий безразличия.

1. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются.

2. Линии безразличия убывают.

3. Линии безразличия выпуклы вниз.

Из свойства 2 следует важное приближенное равенство .

Это соотношение показывает, на сколько индивид должен увеличить (уменьшить) потребление второго продукта при уменьшении (увеличении) потребления первого продукта на одну единицу без изменения уровня удовлетворения своих потребностей. Отношение называется нормой замены первого продукта вторым, а величина – предельной нормой замены первого продукта вторым.

Пример 53. Если предельная полезность первого товара равна 6, а второго – 2, то при уменьшении потребления первого товара на единицу нужно увеличить потребление второго товара на 3 единицы при том же уровне удовлетворения потребностей.

6.3 Бюджетное множество

Пусть – вектор цен на набор из n продуктов ; I – доход индивида, который он готов потратить на приобретение набора продуктов . Множество наборов товаров стоимостью не более Iпри данных ценах называется бюджетным множеством B. При этом множество наборов стоимостью I называется границей G бюджетного множества B. Т.о. множество B ограничено границей G и естественными ограничениями .

Бюджетное множество описывается системой неравенств:

Для случая набора из двух товаров бюджетное множество B(рис. 1) представляет собой треугольник в системе координат , ограниченный осями координат и прямой .

6.4 Теория потребительского спроса

В теории потребления полагается, что потребитель всегда стремится максимизировать свою полезность и единственным ограничением для него является ограниченность дохода I, который он может потратить на покупку набора товаров. В общем виде задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) формулируется следующим образом: найти потребительский набор , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Математическая модель этой задачи:

В случае набора из двух товаров:

Геометрически решение этой задачи – это точка касания границы бюджетного множества G и линии безразличия.

Решение этой задачи сводится к решению системы уравнений:

(1)

Решение этой системы является решением задачи потребительского выбора.

Решение задачи потребительского выбора называется точкой спроса. Эта точка спроса зависит от цен и дохода I. Т.е. точка спроса является функцией спроса. В свою очередь функция спроса – это набор n функций, каждая из которых зависит от аргумента:

Эти функции называются функциями спроса соответствующих товаров.

Пример 54. Для набора из двух товаров на рынке, известных ценах на них и и дохода I найти функции спроса, если функция полезности имеет вид .

Решение. Продифференцируем функцию полезности:

Подставим полученные выражения в (1) и получим систему уравнений:

В данном случае расход на каждый товар составит половину дохода потребителя, а количество приобретенного товара равно затраченной на него сумме, поделенной на цену товара.

Пример 55. Пусть функция полезности для первого товара , второго ,

цена первого товара , цена второго . Доход . Какое количество товара должен приобрести потребитель, чтобы максимизировать полезность?

Решение. Найдем производные функций полезности, подставим в систему (1) и решим ее:

Этот набор товаров является оптимальным для потребителя с точки зрения максимизации полезности.

Контрольная работа должна быть выполнена в соответствии с вариантом, выбираемым по последней цифре номера зачетной книжки в отдельной тетради. Каждая задача должна содержать условие, подробное решение и вывод.

1. Введение в математический анализ

Задача 1. Найти область определения функции.

Задача 2. Найти пределы функций.

Задача 3. Найти точки разрыва функции и определить их тип.

1. 2. 3.

Глава 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Задача 4. Найти производные данных функций.

1. а); б) в) y = ;

г) y = x 6 + + + 5; д) y = x tg x + ln sin x + e 3x ;

е) y = 2 x - arcsin x .

2. а) ; б) y = ; в) y = ; г) y = x 2 –+ 3; д) y = e cos ; е) y = .

3. а) y = lnx; б) y =; в) y = ln;

4. а) y = ; б) y = (e 5 x – 1) 6 ; в) y = ; г) y = ; д) y = x 8 ++ + 5; е) y = 3 x - arcsin x .

5. а) y = 2x 3 - + e x ; б) y = ; в) y = ;

г) y = ; д) y = 2 cos ; е) y = .

6. а) y = lnx; б) y =; в) y = ln;

г) y = ; д) y = x 7 + + 1; е) y = 2.

7. а) ; б) y = ; в)y = ; г)y = x 2 + xsinx + ; д) y = e cos ; е) y = .

8. а) y = ; б) y = (3 x – 4) 6 ; в) y = sintg;

г) y = 3x 4 – – 9+ 9; д) y = ;

е)y = x 2 + arcsin x - x.

9. а); б); в) y = ; г) y = 5 sin 3 x ; д) y = x 3 – – 6+ 3; е) y = 4x 4 + ln.

10. а) б) y = ; в) y = (3 x – 4) 6 ; г) y = ; д)y = x 2 - x; е) y = e sin 3 x + 2 .

Задача 5. Исследовать функцию и построить ее график.

1. а) б) в) .

2. а) б) в) .

3. а) б) в) .

4. б) в)

5. а) б) в) .

6. а) б) в) .

7. а) б) в) .

8. а) б) в) .

9. а) б) в) .

10. а) б) в) .

Задача 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Глава 3. Интегральное исчисление

Задача 7. Найти неопределенные интегралы.

1. а) б);

2. а) ;б) в) г) .

4. г)

5. а); б); в) ; г).

6. а); б); в); г)

7. а) ; б) ; в) ; г)

8. а) ; б); в); г) .

9. а) ; б) в); г).

10. а) б) в) ; г) .

Задача 8. Вычислить определенные интегралы.

7. .

10.

Задача 9. Найти несобственные интегралы или доказать, что они расходятся.

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Задача 10. Найти площадь области, ограниченной кривыми

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Глава 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных.

Задача 11. Найти область определения функции (показать на чертеже).

Задача 12. Исследовать на непрерывность функции при

Задача 13. Найти производную неявно заданной функции.

Задача 14. Вычислить приближенно

1. а) ;б) ; в)

2. а) ; б) ; в) .

3. а); б) ; в) .

4. а); б) ; в) .

5. а); б) ; в) .

6. а); б) ; в) .

7. а); б) ; в) .

8. а) ;б) ; в)

9. а) ; б) ; в) .

10. а) ;б) ; в)

Задача 15. Исследовать функцию на экстремумы.

7. .

8. .

9. .

10. .

Задача 16. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в данной замкнутой области.

1. в прямоугольнике

3. в прямоугольнике

4. в области, ограниченной параболой

И осью абсцисс.

5. в квадрате

6. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой

7. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой

8. в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой

9. в области, ограниченной параболой

И осью абсцисс.

10. в области, ограниченной параболой

И осью абсцисс.

Основная

1. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании: Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2003.

2. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Математика для экономических специальностей: Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2003.

3. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Математика для экономического бакалавриата. Учебник. – 4-е изд., исп. – М.: Дело, 2005.

4. Высшая математика для экономистов. Учебник для вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера, - 2-е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ, 2003.

5. Кремер Н.Ш, Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н.. Высшая математика для экономических специальностей. Учебник и Практикум (части I и II) / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера, - 2-е изд., перераб. и доп. – М: Высшее образование, 2007. – 893с. – (Основы наук)

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М. высшая школа. 1999.

Дополнительная

1. И.И. Баврин, В.Л. Матросов. Высшая математика. «Гуманитарный издательский центр Владос», 2002.

2. И.А. Зайцев. Высшая математика. «Высшая школа», 1998.

3. А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. Математика в экономике / в двух частях/. М. Финансы и статистика. 1999.

На котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.

Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:

Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.

Функцию я буду называть внешней функцией , а функцию – внутренней (или вложенной) функцией .

! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.

Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:

Пример 1

Найти производную функции

Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:

В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.

Первый шаг , который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней .

В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).

Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :

Во вторую очередь нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:

После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции .

Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:

Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением , в данном случае:

Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем .

Ну и совершенно очевидно, что

Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:

Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:

Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.

Пример 2

Найти производную функции

Пример 3

Найти производную функции

Как всегда записываем:

Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:

И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:

Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий:

Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:

Пример 4

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример 5

а) Найти производную функции

б) Найти производную функции

Пример 6

Найти производную функции

Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции :

Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:

Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).

Пример 7

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:

Пример 8

Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:

Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:

Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило :

Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:

Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила , ответы должны совпасть.

Пример 9

Найти производную функции

Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).

До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.

Пример 10

Найти производную функции

Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?

Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:

Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :

И, наконец, семерку возводим в степень :

То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.

Начинаем решать

Согласно правилу сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий.