В математике отношением называется то частное, которое получается при делении одного числа на другое. Ранее сам этот термин использовался только в тех случаях, когда было необходимо выражение какой-либо одной величины в долях другой, причем такой, которая однородна первой. К примеру, отношения использовались при выражении площади в долях другой площади, длины в долях другой длины и т.п. Решение этой задачи производилось с помощью деления.

Таким образом, сам смысл термина «отношение » был несколько иной, чем термина «деление »: дело в том, что второй означал разделение определенной именованной величины на любое совершенно отвлеченное абстрактное число. В современной математике понятия «деление » и «отношение » по своему смыслу абсолютно идентичны и являются синонимами. Например, и тот, и другой термин с одинаковым успехом применяют для отношения величин, являющихся неоднородными: массы и объема, расстояния и времени и т.п. При этом многие отношения величин однородных принято выражать в процентах .

ПРИМЕР

В супермаркете насчитывается четыреста наименований различных товаров. Из них двести произведено на территории Российской Федерации. Определить, каково отношение отечественных товаров к общему числу товаров, продаваемых в супермаркете?

400 – общее число товара

Ответ: двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов.

200: 400 = 0,5 или 50%

В математике делимым принято называть предыдущий член отношения , а делителем – последующий член отношения . В приведенном выше примере предыдущим членом являлось число двести, а последующим – число четыреста.

Два равных отношения образуют пропорцию

В современной математике принято считать, что пропорцией является два равным между собой отношения . К примеру, если общее количество наименований товаров, продаваемых в одном супермаркете, – четыреста, а в России из них произведено двести, а те же значения для другого супермаркета составляют шестьсот и триста, то соотношение количества российских товаров к общему их числу, реализовываемых в обеих торговых предприятиях, одинаково:

1.Двести разделить на четыреста равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

200: 400 = 0,5 или 50%

2.Триста разделить на шестьсот равняется ноль целых пять десятых, то есть пятьдесят процентов

300: 600 = 0,5 или 50%

В данном случае имеется пропорция , которую можно записать следующим образом:

=

Если формулировать это выражение так, как это принято делать в математике, то говорится, что двести относится к четыремстам так же, как триста относится к шестистам. При этом двести и шестьсот называются крайними членами пропорции , а четыреста и триста – средними членами пропорции .

Произведение средних членов пропорции

Согласно одному из законов математики, произведение средних членов любой пропорции равняется произведению ее крайних членов. Если возвратиться к приведенным выше примерам, то проиллюстрировать это можно следующим образом:

Двести умноженное на шестьсот равняется сто двадцать тысяч;

200 × 600 = 120 000

Триста умноженное на четыреста равняется сто двадцать тысяч.

300 × 400 = 120 000

Из этого следует, что любой из крайних членов пропорции равен произведению ее средних членов, деленному на другой крайний член. По тому же самому принципу каждый из средних членов пропорции равен крайних ее членов, деленному на другой средний член.

Если вернуться к приведенному выше примеру пропорции , то:

Двести равняется четыреста умноженное на триста и деленное на шестьсот.

200 =

Эти свойства широко используются в практических математических вычислениях тогда, когда требуется найти значение неизвестного члена пропорции при известных значениях трех членов остальных.

П.1. Подобие фигур

Тесты

Расчетно-графическая работа

Пример титульного листа

ЧОУ ВПО Институт экономики, управления и права (г. Казань)

Факультет менеджмента и инженерного бизнеса

Кафедра высшей математики

по дисциплине «Финансовая математика»

Вариант 1

Исполнитель: 2 ОЗО СП гр. 112 у ______________ А.В. Петров

Проверил: ст. преподаватель ______________ Е.А. Касаткина

Набережные Челны

Если во вкладке «Сервис» отсутствует пункт «Поиск решения…», необходимо выполнить команду «Сервис»/ «Надстройки…», и в открывшемся окне выбрать надстройку «Поиск решения», после чего во вкладке «Сервис» появится выбранный пункт.

Если поиску решения не удается найти решение, то в окне поиска решения нужно нажать кнопку «Параметры» и установите большее значение предельного числа итераций (например, 1000) и/или меньшее значение относительной погрешности (например, 0,001).

Вариант 1

1. Подобные геометрические фигуры имеют одинаковую форму.

2. Коэффициент подобия равных фигур равен единице.

3. Коэффициент подобия отрезков равен частному их длин.

4. Коэффициент подобия кругов равен частному длин их радиусов.

5. Коэффициент подобия квадратов равен частному длин их диаметров.

6. Если стороны квадрата уменьшить в 5 раз, то периметр полученного квадрата уменьшится в 25 раз.

7. Если длину прямоугольника увеличить в k раз, то его площадь увеличится в k 2 раз.

8. Если ребро куба увеличить в 2 раза, то его объем нового куба будет в 4 раза больше.

9. Любые два квадрата подобны.

10. Если фигуры равны, то равны и их площади.

Вариант 2

Запишите числовой код, составленный из номеров верных утверждений.

1. Равные геометрические фигуры имеют одну и туже форму и одинаковые размеры.

2. Коэффициент подобия – это число, показывающее во сколько раз одна из подобных фигур больше или меньше другой.

3. У подобных треугольников соответственные углы равны.

4. Коэффициент подобия треугольников равен частному длин их сходственных сторон.

5. Коэффициент подобия окружностей равен частному длин их диаметров.

6. Если стороны прямоугольника уменьшить в k раз, то его периметр уменьшится в k раз.

7. Если сторону квадрата увеличить в k раз, то площадь нового квадрата станет в k 2 раз больше.

8. Если ребро куба уменьшить в 3 раза, то объем нового куба станет в 9 раз меньше.

9. Любые два прямоугольника подобны.

10. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры.

Вариант 1

1. Частное двух величин, измеренных в одинаковых единицах, называют отношением этих величин.

2. Отношение числа 150 к числу 250 равно .

3. Равенство 2:5= 0,1:0,25 является пропорцией.

4. В пропорции а :b =c :d числа b и c называют крайними членами пропорции.

5. В пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

6. В пропорции неизвестный член равен 2,4.

7. Если треугольники АВС и KLM подобны, то ВС :LM =AC :MK .

8. Если расстояние между населенными пунктами на местности равно 5 км, а на карте 0,5 см, то масштаб карты равен 1:100 000.

9. 1% от числа 55 равен 0,55.

10. Число, 20% которого составляет число 5, равно 100.

Вариант 2

Запишите число, составленное из номеров верных утверждений.

1. Верное равенство двух отношений называют пропорцией.

2. Отношение чисел 350 к 420 равно .

3. Равенство 7:10=5:9 является пропорцией.

4. В пропорции числа а и d называют крайними членами.

5. Если c :d =k :m , то cm =kd .

6. В пропорции неизвестный член равен 4,5.

7. Если треугольники АВС и KLM подобны, то АВ :KL =AC :KМ .

8. Если на карте расстояние между поселками равно 2 см, а масштаб карты 1:100 000, то расстояние на местности равно 2 км.

9. 1% от числа 2 равен 0,2.

10. Число, 10% которого составляют число 5, равно 50.

Отношения в математике От куска материи длиной 5 м отрезали 2 м. Какую часть куска материи отрезали? 5 м 2 м Решение =0,4=40 0 / 0 Частное двух чисел называют отношением этих чисел. Что показывает отношение? Ответ можно также записать в виде десятичной дроби или в процентах. 2:5=

Что показывает отношение? Отношение показывает во сколько раз первое число больше второго 16 кг 8 кг 16: 8 = 2(р.) или какую часть первое число составляет от второго. 4 м 20 м 4: 20 = 0,2(части) Если две величины измерены одной и той же единицей измерения, то отношение их значений называют отношением этих величин. Отношение масс Отношение длин К тесту

П Р О П О Р Ц И Я «Пропорция-соразмерность. 1) Определённое соотношение частей между собой. Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета. 2) В математике: равенство двух отношений.» Ожегов С. И.

П р о п о р ц и я Отношения 3,6:1,2 и 6,3:2,1 равны. Поэтому можно записать равенство 3,6:1,2=6,3:2,1 или a: b = c:d Средние члены пропорции Крайние члены пропорции В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних. a * d = b * c Как проверить, верно ли составлена пропорция? К вопросу

П р о п о р ц и я Основное свойство пропорции: Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна. Проверьте, верна ли пропорция? 20:16=5:

У п р а ж н е н и я Составьте, если можно, пропорции из следующих отношений: а) 20:4 и 60: Составьте, если можно, пропорции из четырёх данных чисел: а)100; 80; 4; Проверьте двумя способами, верно ли равенство: а) 49:14=14: Из следующих равенств составьте пропорцию: а) 40*30=20* Найдите неизвестный член пропорции: а) х:30=54:40

Тест 1.Отношения. 1. Какое из данных отношений равно? а)7:2; б) 4:14; в) 7:17,5; г)12:17;7:24:147:17,512:17 2. Найдите отношение 1,2 м к 10 см. а) 12; б) 12 м; в)0,12; г) другой ответ.1212 м 0,12 другой ответ 3. Как относится одна третья часть часа к восемнадцати минутам? а)1:54; б)10:8; в)1:6; г) другой ответ.1:5410:81:6 другой ответ. 4. Отношение а: в равно 5:3. Найдите отношение 3 а:10 в. а) 1:2; б)2; в) 9:30; г) другой ответ.1:229:30 другой ответ.

Тест 2. Пропорции. 1. Найдите произведение средних членов пропорции: а)9,8; б)0,98; в)80; г) другой ответ.9,80,9880 другой ответ. 2. Найдите неизвестный член пропорции: а)0,05; б)20; в)0,5; г) другой ответ 0,05200,5 другой ответ. 3. Из данных пропорций выберите верную: а)82:72=64:78; б)15:8=13:6;82:72=64:7815:8=13:6 в)17:2=34:4; г)22:23=81:82.17:2=34:422:23=81:82

Задача 4 Расстояние на карте от Земли до Луны 38,4 см. Найти расстояние между ними, если масштаб карты 1:

Тест 13-16 "Отношение и пропорции".

Предлагаемые тесты предназначены для проверки знаний и умений учащихся по разделу курса математики шестого класса «Отношение и пропорции» . Посредством представленных тестов проверяется усвоение учебного материала следующих тем: «Отношения», «Пропорции», «прямая и обратная пропорциональные зависимости», «Масштаб», «Длина окружности и площадь круга», «Шар» . Данная подборка тестов может быть использована в системе классно-урочного изучения обозначенного раздела или в домашних условиях - при самостоятельном или дистанционном обучении с целью проведения самоконтроля.

Прохождение теста ограничено по времени - десять минут. По окончании данного временного промежутка тест заканчивает свою работу и предлагает перейти в окно результатов. Для удобства ориентации во времени, справа вверху есть таймер с обратным отсчетом времени. Данная тестовая программа предусматривает удобную навигацию между вопросами, а также возможно внесение изменений в ранее выбранный или записанный ответ. Тесты представлены в двух равноценных вариантах, каждый из которых содержит в себе семь вопросов, сформулированных в виде заданий разной уровни сложности. Первые четыре вопроса оцениваются в один балл и предусматривают выбор одного правильного ответа из четырех предложенных. Задачи под номерами пять и шесть относятся к среднему уровню сложности и оцениваются в два балла каждая. Последнее, седьмое, задание соответствует высокому уровню сложности и за правильное решение тестируемый получает три балла.

После окончания тестирования выводится окно результатов с набранными баллами. Предусмотрен также просмотр подробностей оценивания, а, при необходимости, можно вернуться к заданиям теста с последующим анализом правильных и выбранных (записанных) ответов.

Сделаем короткий анализ предлагаемых тестов.

Первый и второй тесты выполняют проверку знаний и умений по теме«Отношения» . Проходя задания первого теста, учащемуся необходимо уметь записывать отношение двух чисел, определять, какую часть одно число составляет относительно другого (во сколько раз одно число больше другого), находить, сколько процентов одно число составляет от другого, записывать по заданному отношению обратное отношение. Особый интерес представляет седьмое задание. Здесь в условии дано, чему равны заданное количество процентов от процентов числа и необходимо найти, чему равно это число.

Задания второго теста хоть и относятся к той же теме, что и задания первого теста, но в основе их уже лежит не проверка основных теоретических и практических знаний и умений по данной теме, а направлены на применение отношений для решения задач. Первый вопрос содержит графический рисунок, на котором изображены два отрезка. Учащемуся следует определить отношение длин данных отрезков. Во втором задании заданы две величины в разных единицах измерения и необходимо найти их отношение. Задание под номером три предлагает определить процентное отношение двух заданных чисел. А в четвертом по заданному отношению (записанному в виде смешанного числа) нужно найти обратное отношение. Пятый вопрос содержит задачу, в которой необходимо определить, какую долю в процентном отношении составляет одно число от другого. В задаче, которая находится в шестом задании, нужно найти, какую часть одно число составляет относительно другого. В седьмом вопросе условие задачи содержит отношение двух чисел и нужно найти отношение большего числа к сумме двух задействованных в отношении чисел.

Третий тест предназначен для проведения контроля по темам«Пропорции» и «Прямая и обратная пропорциональные зависимости» . Для успешного прохождения теста учащемуся понадобятся знания членов пропорции (какие члены пропорции являются крайними, а какие - средними), по заданной записи пропорциональной зависимости находить неизвестный член пропорции, уметь составлять пропорциональные зависимости (и решать их) для решения задач.

В четвертом тесте задания проверяют знание и умение работать с пропорциями, а также по темам «Длина окружности и площадь круга» и«Масштаб» . В первых двух вопросах необходимо решить пропорцию. Далее предлагается найти длину окружности заданного радиуса. После чего по известному радиусу нужно вычислить площадь круга. Пятое и шестое задания по своей сути противоположны друг другу. В пятом по известному масштабу следует определить, какое будет расстояние на карте (на местности), если известно данное расстояние на местности (на карте). Шестое задание, наоборот, по известным соответствующим расстояниям на карте и местности предлагает найти масштаб карты. При ответе на седьмой вопрос понадобятся логическое мышление и внимание. Нужно определить, сколько четных (кратных 5) двузначных чисел можно составить из четырех заданных цифр.