Двухосным или плоским называется такое напряженное состояние тела, при котором во всех его точках одно из главных напряжений равно нулю. Можно показать*, что плоское напряженное состояние возникает в призматическом или цилиндрическом теле (рис. 17.1) с незакрепленными и ненагруженными торцами, если к боковой поверхности тела приложена система внешних сил, нормальных к оси Oz и изменяющихся в зависимости от z по квадратичному закону симметрично относительно среднего сечения. При этом оказывается, что во всех поперечных сечениях тела

а напряжения а х, а у, х изменяются в зависимости от z также по квадратичному закону симметрично относительно среднего сечения. Введение указанных допущений позволяет получить решение задачи, удовлетворяющее условиям (17.13) и всем уравнениям теории упругости.

Представляет интерес частный случай, когда напряжения не зависят от переменной z‘-

Такое напряженное состояние возможно только при действии равномерно распределенной по длине нагрузки. Из формул закона Гука (16.3) следует, что деформации е х, е у, e z , у также не зависят от z, а деформации у и y zx с учетом (17.13) равны нулю. В таком случае четвертое и пятое из уравнений неразрывности деформаций (16.4), (16.5) тождественно удовлетворяются, а второе, третье и шестое уравнения принимают вид

Интегрируя эти уравнения и учитывая третью из формул закона Гука (16.3) при a z = 0, получим

См.: Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.

Таким образом, плоское напряженное состояние в призматическом или цилиндрическом теле со свободными торцами, нагруженном постоянной по длине тела поверхностной нагрузкой, возможно только в частном случае, когда сумма напряжений а х + а у изменяется в зависимости от переменных х и у по линейному закону или постоянна.

Если расстояние между торцевыми плоскостями тела (рис. 7.1) мало по сравнению с размерами сечений, то имеем случай тонкой пластины (рис. 17.5), нагруженной по внешнему контуру силами, симметрично распределенными относительно срединной плоскости пластины по квадратичному закону. Так как толщина пластины h мала, то с незначительной погрешностью можно принять, что при любом симметричном относительно срединной плоскости нагружении пластины напряжения а х, a v , t xv равномерно распределены по ее толщине.

При этом под напряжениями следует понимать их средние по толщине значения, например

Следует также отметить, что при введении допущения (17.14) условия (17.13) равенства нулю напряжений

Рассмотренный случай напряженного состояния тонкой пластины с допущениями (17.13) и (17.14) часто называют обобщенным плоским напряженным состоянием.

Рассмотрим основные уравнения теории упругости для этого случая.

С учетом (17.13) формулы закона Гука (16.3) запишутся в виде

Соответствующие обратные соотношения имеют вид

Формулы (17.17) и (17.18) отличаются от формул (17.7) и (17.9) закона Гука для плоской деформации только тем, что в последние вместо модуля упругости Е и коэффициента Пуассона v входят приведенные величины Е { и v r

Уравнения равновесия, соотношения Коши, уравнение неразрывности деформаций и статические граничные условия не отличаются от соответствующих уравнений (17.10), (17.3), (17.11), (17.12) для плоской деформации.

Плоская деформация и обобщенное плоское напряженное состояние по существу описываются одними и теми же уравнениями. Единственное отличие имеется в величинах постоянных упругости в формулах закона Гука. Поэтому обе задачи объединяются общим названием: плоская задача теории упругости.

Полная система уравнений плоской задачи состоит из двух уравнений равновесия (17.10), трех геометрических соотношений Коши (17.3) и трех формул закона Гука (17.7) или (17.17). Они содержат восемь неизвестных функций: три напряжения а х, а у, % ху, три деформации е х, е у, у ху и два перемещения и и и.

Если при решении задачи не требуется определять перемещения, то число неизвестных сокращается до шести. Для их определения имеется шесть уравнений: два уравнения равновесия, три формулы закона Гука и уравнение неразрывности деформаций (17.11).

Основное отличие рассмотренных двух видов плоской задачи состоит в следующем. При плоской деформации ? z = 0,o z * 0, причем величина c z может быть найдена по формуле (17.6) после того, как определены напряжения о х ио,. При обобщенном плоском напряженном состоянии a z = 0, ? z Ф 0, и деформация ? z может быть выражена через напряжения о х и о у по формуле (17.16). Перемещение w можно найти путем интегрирования уравнения Коши

Выделим вокруг некоторой точки К тела параллелепипед с рёбрами бесконечно малой длины. На гранях этого элементарного параллелепипеда в общем случае могут действовать нормальные и касательные напряжения. Совокупность напряжений на всевозможных площадках, проходящих через точку, называется напряженным состоянием материала в точке . Доказано, что можно так расположить в пространстве параллелепипед, что на его гранях останутся только нормальные напряжения. Такие грани называются главными площадками , а напряжения на них – главными напряжениями . Наибольшее главное напряжение обозначается σ 1 , наименьшее – σ 3 , а промежуточное – σ 2 , поэтому .

Различают три вида напряженного состояния: линейное, плоское и объёмное (рис. 3.1).

Рис.1. Виды напряженного состояния в точке: а – линейное; б – плоское; в – объемное

2. Плоское напряженное состояние

Рассмотрим более подробно плоское напряженное состояние. Выделим из тонкой пластинки толщиной t бесконечно малый элемент, по боковым граням которого действуют нормальные и касательные напряжения (рис. 2, а ). Принимаем, что напряжения по толщине пластинки распределены равномерно, поэтому конкретный размер t не влияет на дальнейший анализ. Будем смотреть на элемент с острия оси z , а напряжения на боковых гранях элемента считать положительными (рис. 2, б ).

Рис. 2. Плоское напряженное состояние

Согласно закону парности касательных напряжений , т. е. касательные напряжения на взаимно-перпендикулярных площадках рав­ны по величине и направлены так, что стремятся вращать элемент в противоположных направлениях.

Главные площадки (рис. 3) составляют угол a 0 с исходными площадками, величину которого определяют из выражения

Рис. 3. Главные площадки и главные напряжения

Главные напряжения, обозначаемые как и, вычисляют по формуле

Экстремальные касательные напряжения равны полуразности главных напряжений и действуют на площадках, наклоненных к главным площадкам под углом 45°

Деформации бесконечно малого элемента при плоском напряженном состоянии заключаются в изменении линейных размеров элемента и в изменении формы элемента. Если в общем случае на гранях элемента действуют нормальные и касательные напряжения, то в точке тела возникают относительные линейные деформации

и угловая деформация (относительный сдвиг ) в виде угла сдвига (рис. 4,б ).

Рис.4. Плоское напряженное состояние: а – напряжения; б – деформации

Между относительными линейными деформациями и напряжениями в точке упругого тела существуют зависимости в виде закона Гука:

Здесь – модуль продольной упругости (модуль упругости первого рода);– коэффициент Пуассона.

Частным случаем плоского напряженного состояния является такой, при котором на взаимно-перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения (рис. 5).

Такой случай называется чистым сдвигом , а исходные площадки называются площадками чистого сдвига. Главные площадки оказываются наклоненными к площадкам чистого сдвига под углом 45°, а главные напряжения численно равны касательным напряжениям, причем одно из главных напряжений – растягивающее, а другое – сжимающее. Согласно принятому правилу обозначения главных напряжений ;

Деформации бесконечно малого элемента при чистом сдвиге заключаются в искажении прямых углов на величину , которая называетсяуглом сдвига (рис. 4 и 5).

Между углом сдвига и касательными напряжениями существует пропорциональная зависимость, называемая законом Гука при чистом сдвиге

где коэффициент пропорциональности G – модуль сдвига (модуль упругости второго рода), измеряемый в тех же единицах, что и напряжения, МПа, кН/см 2 .

Три характеристики упругих свойств изотропного материала оказываются связанными между собой зависимостью, которую наиболее часто записывают в следующей форме:

При плоском напряженном состоянии в одной из площадок, проходящих через рассматриваемую точку, касательные и нормальные напряжения равны нулю. Совместим эту площадку с плоскостью чертежа и выделим из тела в окрестности этой точки бесконечно малую (элементарную) треугольную призму, боковые грани которой перпендикулярны к плоскости чертежа, а высота (в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа) равна основания призмы представляют собой прямоугольные треугольники (рис. 2.3, а).

Приложим к выделенной призме те же напряжения, которые действовали на нее до выделения ее из тела. В связи с тем, что все размеры выделенной призмы бесконечно малы, касательные и нормальные напряжения по ее боковым граням можно считать распределенными равномерно и равными напряжениям в площадках, проходящих параллельно ее граням.

Выберем систему координат, совместив оси и у (в плоскости чертежа) с гранями призмы (рис. 2.3, а). Обозначим напряжения, параллельные оси и - оси у.

Нормальные напряжения по боковой грани призмы, наклоненной под углом а к грани, по которой действуют напряжения обозначим

Примем следующее правило знаков. Растягивающее нормальное напряжение положительно, а сжимающее - отрицательно. Касательное напряжение по боковой грани призмы положительно, если изображающий его вектор стремится вращать призму по часовой стрелке относительно любой точки, лежащей на внутренней нормали к этой грани. Угол а положителен, если грань призмы (по которой действует напряжение ) для совмещения с гранью (по которой действует напряжение ) поворачивается на этот угол против часовой стрелки. На рис. 2.3, а все напряжения, а также угол а положительны.

Умножив каждое из напряжений на площадь грани, по которой оно действует, получим систему сосредоточенных сил Ту и Та, приложенных в центрах тяжести соответствующих граней (рис. 2.3, б):

Эти силы должны удовлетворять всем уравнениям равновесия, так как призма, выделенная из тела, находится в равновесии.

Составим следующие уравнения равновесия:

В уравнение (4.3) силы не входят, так как линии их действия проходят через точку (начало системы координат ).

Подставив в уравнение (4.3) выражения и Ту из равенств (1.3), получим

Следовательно, касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по абсолютной величине и обратны по знаку. Эта связь между называется законом парности касательных напряжений.

Из закона парности касательных напряжений следует, что в двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения направлены либо к линии пересечения этих площадок (рис. 3.3, а), либо от нее (рис. 3.3, б).

Подставим в уравнения (2.3) и (3.3) выражения сил из равенств (1.3):

Сократим эти уравнения на , учитывая при этом, что (см. рис. 2.3, а):

Теперь заменим на [см. формулу (5.3)]:

Формулы (6.3) и (7.3) позволяют определять значения нормальных и касательных напряжений в любых площадках, проходящих через данную точку, если известны напряжения в любых двух проходящих через нее взаимно перпендикулярных площадках.

Определим по формуле (6.3) сумму нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках, для одной из которых угол а равен а для другой

т. е. сумма величин нормальных напряжений в двух взаимно перпендикулярных площадках есть величина постоянная. Следовательно, если в одной из таких площадок нормальные напряжения имеют максимальное значение, то в другой они имеют минимальное значение.

При исследовании напряженного состояния сначала определяют напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через рассматриваемую точку тела.

Если одна из этих площадок оказывается свободной от напряжении, то напряженное состояние является плоским. Бесконечно малый элемент в форме параллелепипеда, выделенный из тела указанными тремя площадками и тремя другими, им параллельными, показан на рис. 4.3, с. Его принято изображать в виде прямоугольника (или квадрата), представляющего собой проекцию элемента на плоскость, совпадающую с площадкой, свободной от напряжений (рис. 4.3,б). Значения напряжений достаточно указывать на двух взаимно перпендикулярных боковых гранях параллелепипеда.

Если требуется показать напряжения, возникающие не в одной паре взаимно перпендикулярных площадок, проходящих через данную точку, а в нескольких, то соответствующие прямоугольники (или квадраты) могут изображаться, как это, например, показано на рис. 4.3, в.

По напряжениям в двух взаимно перпендикулярных площадках можно вычислить [с помощью формул (6.3) и (7.3)] напряжения в любых площадках; поэтому рисунок (например, 4.3, б, в), на котором показаны эти напряжения, можно рассматривать как изображение напряженного состояния в точке.

Любое напряженное состояние можно рассматривать как сумму нескольких напряженных состояний (принцип наложения напряжений). Так, например, напряженное состояние, показанное на рис. 5.3, а, можно рассматривать как сумму напряженных состояний, изображенных на рис. 5.3, б,в.

ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Лекция 15

Примером конструкции, всœе точки которой находятся в плоском напряженном состоянии, может служить тонкая пластинка, нагруженная по торцам силами, которые лежат в ее плоскости. Поскольку боковые поверхности пластинки свободны от напряжений, то в силу малости ее толщины можно считать, что и внутри пластинки на площадках, параллельных ее поверхности, напряжения пренебрежимо малы. Подобная ситуация возникает, к примеру, при нагружении валов и балок тонкостенного профиля.

В общем случае, говоря о плоском напряженном состоянии, мы имеем в виду не всю конструкцию, а только рассматриваемую точку ее элемента. Признаком того, что в данной точке напряженное состояние является плоским, служит наличие проходящей через нее площадки, на которой отсутствуют напряжения. Такими точками будут, в частности, точки свободной от нагрузок внешней поверхности тела, которые в большинстве случаев и являются опасными. Отсюда понятно внимание, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ уделяется анализу этого вида напряженного состояния.

При изображении элементарного параллелœепипеда, находящегося в плоском напряженном состоянии, достаточно показать одну из его ненагруженных граней, совместив ее с плоскостью чертежа (рис. 15.1).Тогда нагруженные грани элемента совместятся с границами показанной площадки. При этом система обозначений для напряжений и правила знаков остаются прежними – изображенные на рисунке компоненты напряженного состояния положительны. С учетом закона парности касательных напряжений

t xy = t yx , плоское напряженное состояние (ПНС) описывается тремя независимыми компонентами - s x , s y , t xy . .

НАПРЯЖЕНИЯ НА НАКЛОННЫХ ПЛОЩАДКАХ ПРИ ПЛОСКОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ

Выделим из элемента͵ изображенного на рис. 15.1, треугольную призму, мысленно разрезав его наклонным сечением, перпендикулярным плоскости чертежа xOy . Положение наклонной площадки и связанных с ней осœей x 1 , y 1 зададим с помощью угла a, который будем считать положительным при повороте осœей против часовой стрелки.

Как и для описанного выше общего случая, показанные на рис. 15.2, напряжения можно считать действующими в одной точке, но на различно ориентированных площадках. Напряжения на наклонной площадке найдем из условия равновесия призмы, выразив их через заданные напряжения s x , s y , t xy на гранях, совпадающих с координатными плоскостями. Обозначим площадь наклонной грани dA , тогда площади координатных граней найдутся так:

dA x = dA cos a,

dA y = dA sin a.

Спроектируем действующие на гранях призмы силы на оси x 1 и y 1:

Сократив на общий множитель dA , и выполнив элементарные преобразования, получим

В случае если учесть, что

выражениям (15.1) можно придать следующий окончательный вид:

На рис. 15.3 вместе с исходным показан бесконечно малый элемент, ориентированный по осям x 1 ,y 1 . Напряжения на его гранях, нормальных к оси x 1 , определяются формулами (15.2). Чтобы найти нормальное напряжение на грани, перпендикулярной к оси y 1 , крайне важно вместо угла a подставить значение a + 90°:

Касательные напряжения и в повернутой системе координат x 1 y 1 подчиняются закону парности, т. е.

Сумма нормальных напряжений, как известно из анализа объемного напряженного состояния, является одним из его инвариантов и должна оставаться постоянной при замене одной системы координат на другую. В этом легко убедиться, сложив нормальные напряжения, определяемые из формул (15.2), (15.3):

ГЛАВНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ

Ранее мы установили, что площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками, а напряжения на них – главными напряжениями. При плоском напряженном состоянии положение одной из главных площадок известно заранее - ϶ᴛᴏ площадка, на которой нет напряжений, ᴛ.ᴇ. совмещенная с плоскостью чертежа (см. рис.15.1). Найдем перпендикулярные ей главные площадки. Для этого положим равным нулю касательное напряжение в (15.1), откуда получим

Угол a 0 показывает направление нормали к главной площадке, или главное направление , в связи с этим его называют главным углом. Поскольку тангенс двойного угла является периодической функцией с периодом p/2 , то угол

a 0 + p/2 – тоже главный угол. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, всœего имеется три главных площадки, причем всœе они взаимно перпендикулярны. Исключение составляет лишь случай, когда главных площадок не три, а бесконечное множество – к примеру, при всœестороннем сжатии, когда любое выбранное направление является главным, а напряжения одинаковы на всœех проходящих через точку площадках.

Стоит сказать, что для нахождения главных напряжений можно воспользоваться первой из формул (15.2), подставляя вместо угла a последовательно значения a 0 и

Здесь учтено, что

Тригонометрические функции из выражений (15.5) можно исключить, если использовать известное равенство

А так же учесть формулу (15.4). Тогда получим

Знак плюс в формуле соответствует одному из главных напряжений, минус – другому. После их вычисления можно воспользоваться принятыми обозначениями для главных напряжений s 1 ,s 2 ,s 3 , учитывая, что s 1 – алгебраически наибольшее, а s 3 – алгебраически наименьшее напряжение. Иными словами, если найденные по выражениям (15.6) оба главных напряжения окажутся положительны, мы получим

В случае если оба напряжения будут отрицательны, будем иметь

Наконец, если выражение (15.6) даст значения напряжений с разными знаками, то главные напряжения будут равны

НАИБОЛЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ НОРМАЛЬНЫХ И КАСАТЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

В случае если мысленно поворачивать оси x 1 y 1 и связанный с ними элемент (см. рис. 15.3), напряжения на его гранях будут меняться, и при некотором значении угла a нормальное напряжение достигнет максимума. Поскольку сумма нормальных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках остается величиной постоянной, то напряжение будет в данный момент наименьшим.

Чтобы найти это положение площадок, нужно исследовать на экстремум выражение , рассматривая его как функцию аргумента a:

Сравнив выражение в скобках с (15.2), приходим к выводу, что на искомых площадках равны нулю касательные напряжения. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, нормальные напряжения достигают экстремальных значений именно на главных площадках.

Чтобы найти наибольшее по величинœе касательное напряжение, примем в качестве исходных главные площадки, совместив оси x и y с главными направлениями. Формулы (15.1), в которых угол a будет теперь отсчитываться от направления s 1 , получат вид:

Из последнего выражения следует, что касательные напряжения достигают наибольших значений на площадках, повернутых к главным на 45°, когда

sin 2a = ±1 . Их максимальное значение при этом равно

Отметим, что формула (15.8) справедлива и в том случае, когда

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ. КРУГИ МОРА

Формулы (15.7), по которым определяются напряжения на площадке, повернутой на некоторый угол α по отношению к главной, имеют наглядную геометрическую интерпретацию. Считая для определœенности оба главных напряжения положительными, введем следующие обозначения:

Тогда выражения (15.7) приобретут вполне узнаваемый вид параметрического уравнения окружности в координатах σ и τ :

Индекс “ α “, в обозначениях подчеркивает, что напряжения находятся на площадке, повернутой к исходной на данный угол. Величина а определяет положение центра окружности на оси σ; радиус окружности равен R . Изображенная на рис. 15.5 круговая диаграмма напряжений по сложившейся традиции принято называть кругом Мора, по имени предложившего ее известного немецкого ученого Отто Мора (1835 – 1918 ᴦ.ᴦ.). Направление вертикальной оси выбрано с учетом знака τ α в (15.10). Каждому значению угла α соответствует изображающая точка K (σ α, τ α ) на окружности, координаты которой равны напряжениям на повернутой площадке. Взаимно перпендикулярным площадкам, у которых угол поворота отличается на 90˚, соответствуют точки K и K ’, лежащие на противоположных концах диаметра.

Здесь учтено, что

поскольку формулы (15.2) и (15.7) при изменении угла на 90 0 дают знак касательного напряжения в повёрнутой системе координат, у которой одна из осœей совпадает по направлению с исходной осью, а другая противоположна по направлению (рис. 15.5)

В случае если в качестве исходных площадок выступают главные, ᴛ.ᴇ. известна величина σ 1 и σ 2 , круг Мора легко строится по точкам 1 и 2. Луч, проведённый из центра круга под углом 2a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку, координаты которой равны искомым напряжениям на повёрнутой площадке. При этом, удобнее пользоваться так называемым полюсом круга, направляя из него луч под углом a. Из очевидного соотношения между радиусом и диаметром круга, полюс, обозначаемый на чертеже буквой A , будет в данном случае совпадать с точкой 2. В общем случае полюс находится на пересечении нормалей к исходным площадкам. В случае если исходные площадки не являются главными, круг Мора строится следующим образом: на плоскость σ - t наносятся изображающие точки K (σ x ,t xy ) и K ’(σ y ,-t xy ), соответствующие вертикальной и горизонтальной исходным площадкам. Соединяя точки прямой, в пересечении с осью σ находим центр круга, после чего строится сама круговая диаграмма. Пересечение окружности с горизонтальной осью даст значение главных напряжений, а радиус будет равен наибольшему касательному напряжению. На рис. 15.7 показан круг Мора, построенный по исходным площадкам, не являющимся главными. Полюс A находится на пересечении нормалей к исходным площадкам KA и K ’A . Луч AM , проведённый из полюса под углом a к горизонтальной оси, в пересечении с окружностью даст изображающую точку M (σ a ,t a), координаты которой представляют собой напряжения на интересующей нас площадке. Лучи, проведённые из полюса в точки 1 и 2, покажут главные углы a 0 и a 0 +90 0 . Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, круги Мора являются удобным графическим средством анализа плоского напряжённого состояния.

б) Напряжение на грани элемента͵ повёрнутого на 45 0 , найдём по (15.1)

Нормальное напряжение на перпендикулярной площадке

(a = 45 0 +90 0) будет равно

в) Наибольшие касательные напряжения найдём по (15.8)

2. Графическое решение.

Построим круг Мора по изображающим точкам K (160,40) и K ’ (60, -40)

Полюс круга A найдем на пересечении нормалей к исходным площадкам.

Круг пересечёт горизонтальную ось в точках 1 и 2. Точка 1 соответствует главному напряжению σ 1 =174 МПа, точка 2 – значению главного напряжения σ 2 = 46 МПа. Луч, проведенный из полюса A через точки 1 и 2, покажет значение главных углов. Напряжения на площадке, повёрнутой на 45 0 к исходной, равны координатам изображающей точки M , находящейся на пересечении окружности с лучом, проведенным из полюса A под углом 45 0 . Как видим, графическое решение задачи анализа напряжённого состояния совпадает с аналитическим.

Рассмотрим важный для приложений случай плоского напряженного состояния, реализуемого, например, в плоскости Oyz. Тензор напряжений в этом случае имеет вид

Геометрическая иллюстрация представлена на рис.1. При этом площадки х= const являются главными с соответствующими нулевыми главными напряжениями. Инварианты тензора напряжений равны , а характеристическое уравнение принимает вид

Корни этого уравнения равны

(1)

Нумерация корней произведена для случая

Рис.1. Исходное плоское напряженное состояние.

Рис.2. Позиция главных напряжений

Произвольная площадка характеризуется углом на рис. 1, при этом вектор п имеет компоненты: , , n х =0. Нормальное и касательное напряжения на наклонной площадке выражаются через угол следующим образом:

Наименьший положительный корень уравнения (4) обозначим через . Так как tg(х )-периодическая функция с периодом , то имеем два взаимно ортогональных направления, составляющие углы и с осью Оу. Эти направления соответствуют взаимно перпендикулярным главным площадкам (рис. 2).

Если продифференцировать соотношение (2) по и приравнять производную нулю, то придем к уравнению (4), что доказывает экстремальность главных напряжений.

Для нахождения ориентации площадок с экстремальными касательными напряжениями приравняем нулю производную от выражения

откуда получим

(5)

Сравнивая соотношения (4) и (5), находим, что

Это равенство возможно, если углы и отличаются на угол . Следовательно, направления площадок с экстремальными касательными напряжениями отличаются от направлений главных площадок на угол (рис. 3).

Рис.3. Экстремальность касательных напряжений

Величины экстремальных касательных напряжений получим после подстановки (5) в соотношение (3) с использованием формул

.

После некоторых преобразований получим

Сравнивая это выражение с полученными ранее значениями главных напряжений (2.21), выразим экстремальные касательные напряжения через главные напряжения

Аналогичная подстановка в (2) приводит к выражению для нормальных напряжений на площадках с

Полученные соотношения позволяют проводить направленно-ориентированный расчет конструкций на прочность в случае плоского напряженного состояния.

ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИИ

Рассмотрим вначале случай плоской деформации (рис. 4). Пусть плоский элемент MNPQ перемещается в пределах плоскости и деформируется (изменяет форму и размеры). Координаты точек элемента до и после деформации отмечены на рисунке.

Рис.4. Плоская деформация.

По определению относительная линейная деформация в точке М в направлении оси Ох равна

Из рис. 4 следует

Учитывая, что MN=dx, получим

В случае малых деформаций, когда , , можно пренебречь квадратичными слагаемыми. С учетом приближенного соотношения

справедливого при x <<1, окончательно для малой деформации получим

Угловая деформация определяется как сумма углов и (4). В случае малых деформаций

Для угловой деформации имеем

Проводя аналогичные выкладки в общем случае трехмерной деформации, имеем девять соотношений

Этот тензор полностью определяет деформированное состояние твердого тела. Он обладает теми же свойствами, что и тензор напряжений. Свойство симметрии непосредственно следует из определения угловых деформаций. Главные значения и главные направления, а также экстремальные значения угловых деформаций и соответствующие им направления находятся теми же методами, что и для тензора напряжений.