С наименьшим числом углов и сторон. Треугольник образуется замкнутой ломаной , состоящей из трёх звеньев, и той частью плоскости, которая находится внутри ломаной.

В тексте треугольники обозначаются символом Δ и тремя прописными латинскими буквами, стоящими при вершинах - ΔABC :

В треугольнике ABC точки A , B и C - это вершины треугольника , отрезки AB , BC и CA - стороны треугольника . Углы, образованные сторонами треугольника, называются углами треугольника .

Нижнюю сторону треугольника обычно называют основанием . В треугольнике ABC сторона AC - основание.

Виды треугольников

Треугольники различаются между собой, во-первых, по характеру углов, во-вторых, по характеру сторон.

По характеру углов треугольник называется:

• Остроугольным , если все его углы являются острыми.
• Прямоугольным , если один угол прямой. В прямоугольном треугольнике стороны, образующие прямой угол, называются катетами , а сторона, лежащая напротив прямого угла - гипотенузой .
• Тупоугольным , если один из его углов тупой.

По характеру сторон треугольник называется:

• Разносторонним , если все его стороны имеют различную длину.
• Равнобедренным , если две его стороны равны между собой. Равные стороны называются боковыми сторонами , а третья сторона - основанием . В равнобедренных треугольниках углы при основании равны.
• Равносторонним , если все три его стороны равны между собой. В равносторонних треугольниках все три угла равны.

Равные стороны стороны на чертежах отмечаются одинаковым количеством чёрточек.

Сегодня мы отправляемся в страну Геометрия, где познакомимся с различными видами треугольников.

Рассмотрите геометрические фигуры и найдите среди них «лишнюю» (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Мы видим, что фигуры № 1, 2, 3, 5 - четырехугольники. Каждая из них имеет свое название (рис. 2).

Рис. 2. Четырехугольники

Значит, «лишней» фигурой является треугольник (рис. 3).

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника , отрезки - его сторонами . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника три угла.

Основными признаками треугольника являются три стороны и три угла. По величине угла треугольники бывают остроугольные, прямоугольные и тупоугольные.

Треугольник называется остроугольным, если все три угла его острые, то есть меньше 90° (рис. 4).

Рис. 4. Остроугольный треугольник

Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов равен 90° (рис. 5).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов тупой, то есть больше 90° (рис. 6).

Рис. 6. Тупоугольный треугольник

По числу равных сторон треугольники бывают равносторонние, равнобедренные, разносторонние.

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны (рис. 7).

Рис. 7. Равнобедренный треугольник

Эти стороны называются боковыми , третья сторона - основанием . В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Равнобедренные треугольники бывают остроугольными и тупоугольными (рис. 8).

Рис. 8. Остроугольный и тупоугольный равнобедренные треугольники

Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны (рис. 9).

Рис. 9. Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике все углы равны . Равносторонние треугольники всегда остроугольные.

Разносторонним называется треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину (рис. 10).

Рис. 10. Разносторонний треугольник

Выполните задание. Распределите данные треугольники на три группы (рис. 11).

Рис. 11. Иллюстрация к заданию

Сначала распределим по величине углов.

Остроугольные треугольники: № 1, № 3.

Прямоугольные треугольники: № 2, № 6.

Тупоугольные треугольники: № 4, № 5.

Эти же треугольники распределим на группы по числу равных сторон.

Разносторонние треугольники: № 4, № 6.

Равнобедренные треугольники: № 2, № 3, № 5.

Равносторонний треугольник: № 1.

Рассмотрите рисунки.

Подумайте, из какого куска проволоки сделали каждый треугольник (рис. 12).

Рис. 12. Иллюстрация к заданию

Можно рассуждать так.

Первый кусок проволоки разделен на три равные части, поэтому из него можно сделать равносторонний треугольник. На рисунке он изображен третьим.

Второй кусок проволоки разделен на три разные части, поэтому из него можно сделать разносторонний треугольник. На рисунке он изображен первым.

Третий кусок проволоки разделен на три части, где две части имеют одинаковую длину, значит, из него можно сделать равнобедренный треугольник. На рисунке он изображен вторым.

Сегодня на уроке мы познакомились с различными видами треугольников.

Список литературы

1. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 1. - М.: «Просвещение», 2012.
2. М.И. Моро, М.А. Бантова и др. Математика: Учебник. 3 класс: в 2-х частях, часть 2. - М.: «Просвещение», 2012.
3. М.И. Моро. Уроки математики: Методические рекомендации для учителя. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
4. Нормативно-правовой документ. Контроль и оценка результатов обучения. - М.: «Просвещение», 2011.
5. «Школа России»: Программы для начальной школы. - М.: «Просвещение», 2011.
6. С.И. Волкова. Математика: Проверочные работы. 3 класс. - М.: Просвещение, 2012.
7. В.Н. Рудницкая. Тесты. - М.: «Экзамен», 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Домашнее задание

1. Закончите фразы.

а) Треугольником называется фигура, которая состоит из …, не лежащих на одной прямой, и …, попарно соединяющих эти точки.

б) Точки называются … , отрезки - его … . Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника ….

в) По величине угла треугольники бывают … , … , … .

г) По числу равных сторон треугольники бывают … , … , … .

2. Начертите

а) прямоугольный треугольник;

б) остроугольный треугольник;

в) тупоугольный треугольник;

г) равносторонний треугольник;

д) разносторонний треугольник;

е) равнобедренный треугольник.

3. Составьте задание по теме урока для своих товарищей.

Некоторый треугольник , в котором все стороны не одинаковой длины, принято называть разносторонними .

Треугольник, с двумя одинаковыми сторонами обозначают как равнобедренный . Одинаковые стороны принято именовать боковыми , третью сторону - основанием. В равной мере будет верным и такое определение основания треугольника - это сторона равнобедренного треугольника, которая не равна двум другим сторонам.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равновелики. Высота , медиана , биссектриса равнобедренного треугольника, прочерченные к его основанию, совмещаются.

Треугольник , со всеми одинаковыми сторонами, обозначают как равносторонние или правильные . В равностороннем треугольнике все углы по 60°, а центры вписанной и описанной окружности совмещены.

Типы треугольников в зависимости от параметров углов.

Треугольник , в котором только углы меньше 90 0 (острые), именуют остроугольным .

Треугольник, в котором представлен угол 90 0 , именуют прямоугольным . Стороны треугольника, формирующие прямой угол, принято обозначать катетами , а сторона расположенная напротив прямого угла - гипотенузой .

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют "простейший многоугольник" с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180 о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами. Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90 о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника. Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о.

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Основные линии

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону - на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2: 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр - это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном - за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R - это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150 о.

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p - это полупериметр треугольника, c, v, b - его стороны.