2.3. Равнодействующая сил

2.3.1. Равнодействующая сил

Силу, заменяющую собой действие на тело нескольких сил, называют равнодействующей ; равнодействующая сила равна векторной сумме сил, приложенных к данному телу:

F → = F → 1 + F → 2 + ... + F → N ,

где F → 1 , F → 2 , ..., F → N - силы, приложенные к данному телу.

Равнодействующую двух сил удобно находить графически по правилу параллелограмма (рис. 2.14, а ) или треугольника (рис. 2.14, б ).

Рис. 2.14

Для сложения нескольких сил (вычисления равнодействующей) используют следующий алгоритм :

1) вводят систему координат и записывают проекции всех сил на координатные оси:

F 1 x , F 2 x , ..., F Nx ,

F 1 y , F 2 y , ..., F Ny ;

2) вычисляют проекции равнодействующей как алгебраическую сумму проекций сил:

F x = F 1 x + F 2 x + ... + F Nx ,

F y = F 1 y + F 2 y + ... + F Ny ;

3) модуль равнодействующей вычисляют по формуле

F = F x 2 + F y 2 .

Рассмотрим частные случаи равнодействующей.

Силу взаимодействия тела с горизонтальной опорой , по которой может происходить движение тела, рассчитывают как равнодействующую силы трения и силы реакции опоры (рис. 2.15):

Рис. 2.15

F вз = F тр 2 + N 2 ,

где F → тр - сила трения скольжения или покоя; N → - сила реакции опоры.

Силу взаимодействия тела с комбинированной опорой (например, креслом автомобиля, самолета и т.п.) рассчитывают как равнодействующую сил давления на вертикальную и горизонтальную части опоры (рис. 2.16):

F → вз = F → гор + F → верт,

где F → гор - сила давления, действующая на тело со стороны горизонтальной части опоры (численно равная весу тела); F → верт - сила давления, действующая на тело со стороны вертикальной части опоры (численно равная силе инерции).

Рис. 2.16

Частные случаи равнодействующей:

Равнодействующая силы тяжести и силы Архимеда называется подъемной силой (рис. 2.17):

ее модуль вычисляется по формуле

F под = F А − m g ,

где F → А - сила Архимеда (выталкивающая сила); m g → - сила тяжести.

Рис. 2.17

Частные случаи равнодействующей:

Если под влиянием нескольких сил тело равномерно движется по окружности, то равнодействующая всех приложенных к телу сил является центростремительной силой (рис. 2.18):

F → ц.с = F → 1 + F → 2 + ... + F → N .

где F → 1 , F → 2 , ..., F → N - силы, приложенные к телу.

Модуль центростремительной силы, направленной по радиусу к центру окружности, может быть вычислен по одной из формул:

F ц.с = m v 2 R , F ц.с = m ω 2 R , F ц.с = m v ω ,

где m - масса тела; v - модуль линейной скорости тела; ω - величина угловой скорости; R - радиус окружности.

Рис. 2.18

Пример 21. По дну водоема, наклоненному под углом 60° к горизонту, начинает скользить тело массой 10 кг, полностью находящееся в воде. Найти модуль равнодействующей всех сил, приложенных к телу, если между телом и дном водоема воды нет, а коэффициент трения составляет 0,15.

Решение. Так как между телом и дном водяная прослойка отсутствует, то сила Архимеда на тело не действует.

Искомой величиной является модуль векторной суммы всех сил, приложенных к телу:

F → = F → тр + m g → + N → ,

где N → - сила нормальной реакции опоры; m g → - сила тяжести; F → тр - сила трения. Указанные силы и система координат изображены на рисунке.

Вычисление модуля результирующей силы F проведем в соответствии с алгоритмом.

1. Определим проекции сил, приложенных к телу, на координатные оси:

• на ось Ox :

проекция силы трения

F тр x = − F тр = − μ N ;

проекция силы тяжести

(m g) x = m g sin 60 ° = 0,5 3 m g ;

проекция силы реакции опоры

N x = 0;

• на ось Оу :

проекция силы трения

F тр y = 0 ;

проекция силы тяжести

(m g) y = − m g cos 60 ° = − 0,5 m g ;

проекция силы реакции опоры

N y = N ,

где m - масса тела; g - модуль ускорения свободного падения; µ - коэффициент трения.

2. Вычислим проекции равнодействующей на координатные оси, суммируя соответствующие проекции указанных сил:

F x = F тр x + (m g) x = − μ N + 0,5 3 m g ;

F y = (m g) y + N y = − 0,5 m g + N .

Движение по оси Oy отсутствует, т.е. F y = 0, или, в явном виде:

− 0,5 m g + N = 0 .

Отсюда следует, что

N = 0,5 m g ,

что позволяет получить формулу для расчета силы трения:

F тр = μ N = 0,5 μ m g .

3. Искомое значение равнодействующей:

F = F x 2 + F y 2 = | F x | = − 0,5 μ m g + 0,5 3 m g = 0,5 m g (3 − μ) .

Произведем вычисление:

F = 0,5 ⋅ 10 ⋅ 10 (3 − 0,15) = 79 Н.

Пример 22. Тело массой 2,5 кг движется горизонтально под действием силы, равной 45 Н и направленной под углом 30° к горизонту. Определить величину силы взаимодействия тела с поверхностью, если коэффициент трения скольжения равен 0,5.

Решение. Силу взаимодействия тела и опоры найдем как равнодействующую силы трения F → тр и силы нормальной реакции опоры N → :

F → вз = F → тр + N → ,

F вз = F тр 2 + N 2 .

Силы, приложенные к телу, показаны на рисунке.

Модуль силы нормальной реакции опоры определяется формулой

N = m g − F sin 30 ° ,

а модуль силы трения скольжения -

F тр = µN ,

где m - масса тела; g - модуль ускорения свободного падения; µ - коэффициент трения; F - модуль силы, вызывающей движение тела.

С учетом выражений для N и F тр формула для расчета искомой силы принимает вид:

F вз = (μ N) 2 + N 2 = N μ 2 + 1 = (m g − F sin 30 °) μ 2 + 1 .

Выполним расчет:

F вз = (2,5 ⋅ 10 − 45 ⋅ 0,5) (0,5) 2 + 1 ≈ 2,8 Н.

Пример 23. Во сколько раз изменится подъемная сила, если с аэростата сбросить балласт, равный половине его массы? Плотность воздуха считать равной 1,3 кг/м 3 , массу аэростата с балластом - 50 кг. Объем аэростата составляет 50 м 3 .

Решение. Подъемная сила, действующая на аэростат, является равнодействующей силы Архимеда F → А и силы тяжести m g → :

F → под = F → А + m g → ,

модуль которой определяется формулой

F под = F A − mg ,

где F A = ρ возд gV - модуль силы Архимеда; ρ возд - плотность воздуха; g - модуль ускорения свободного падения; V - объем аэростата; m - масса аэростата (с балластом или без него).

Модуль подъемной силы может быть рассчитан по формулам:

• для аэростата с балластом

F под 1 = ρ возд g V − m 1 g ,

• для аэростата без балласта

F под 2 = ρ возд g V − m 2 g ,

где m 1 - масса аэростата с балластом; m 2 - масса аэростата без балласта.

Искомое отношение модулей подъемных сил составляет

F под 2 F под 1 = ρ возд V − m 2 ρ возд V − m 1 = 1,3 ⋅ 50 − 25 1,3 ⋅ 50 − 50 ≈ 2,7 .

Пример 24. Модуль равнодействующей всех сил, действующих на тело, равен 2,5 Н. Определить в градусах угол между векторами скорости и ускорения, если известно, что модуль скорости остается постоянным.

Решение. Скорость тела не изменяется по величине. Следовательно, тело обладает только нормальной составляющей ускорения a → n ≠ 0 . Такой случай реализуется при равномерном движении тела по окружности.

Равнодействующая всех сил, приложенных к телу, является центростремительной силой и показана на рисунке.

Векторы силы, скорости и ускорения имеют следующие направления:

• центростремительная сила F → ц.с направлена к центру окружности;
• вектор нормального ускорения a → n направлен так же, как и сила;
• вектор скорости v → направлен по касательной к траектории движения тела.

Следовательно, искомый угол между векторами скорости и ускорения равен 90°.

Изобразите схему действующих сил. Когда действие силы на тело происходит под углом, для определения ее величины необходимо найти горизонтальную (F x) и вертикальную (F y) проекции этой силы. Для этого мы будем использовать тригонометрию и угол наклона (обозначается символом θ «тета»). Угол наклона θ измеряется против часовой стрелки, начиная от положительной оси х.

• Нарисуйте диаграмму действующих сил, включая угол наклона.
• Укажите вектор направления действия сил, а также их величину.
• Пример: Тело с силой нормальной реакции, равной 10 Н, движется вверх и вправо с силой 25 Н под углом в 45°. Также на тело действует сила трения, равная 10 Н.
• Перечень всех сил: F тяж = -10 Н, F н = + 10 Н, F т = 25 Н, F тр = -10 Н.

Вычислите F x и F y , используя основные тригонометрические соотношения . Представив наклонную силу (F) в качестве гипотенузы прямоугольного треугольника, а F x и F y – в качестве сторон этого треугольника, можно вычислить их по отдельности.

• Напоминаем, что косинус (θ) = прилежащая сторона/гипотенуза. F x = соз θ * F = cos(45°) * 25 = 17,68 Н.
• Напоминаем, что синус (θ) = противолежащая сторона/гипотенуза. F y = sin θ * F = sin(45°) * 25 = 17,68 Н.
• Обратите внимание, что под углом на объект одновременно может действовать несколько сил, поэтому вам придется найти проекции F x и F y для каждой такой силы. Суммируйте все значения F x , чтобы получить результирующую силу в горизонтальном направлении, и все значения F y , чтобы получить результирующую силу в вертикальном направлении.

Перерисуйте схему действующих сил. Определив все горизонтальные и вертикальные проекции силы, действующие под углом, можете нарисовать новую схему действующих сил, указав также и эти силы. Сотрите неизвестную силу, а вместо нее укажите векторы всех горизонтальных и вертикальных величин.

• К примеру, вместо одной силы, направленной под углом, на схеме теперь будут представлены одна вертикальная сила, направленная вверх, величиной 17,68 Н, и одна горизонтальная сила, вектор которой направлен вправо, а величина равна 17,68 Н.

Сложите все силы, действующие по координатам х и у. После того как нарисуете новую схему действующих сил, вычислите результирующую силу (F рез), сложив отдельно все горизонтальные силы и все вертикальные силы. Не забудьте следить за правильным направлением векторов.

• Пример: Горизонтальные вектора всех сил вдоль оси х: F резx = 17,68 – 10 = 7,68 Н.
• Вертикальные вектора всех сил вдоль оси у: F резy = 17,68 + 10 – 10 = 17,68 Н.

Вычислите вектор равнодействующей силы. На данном этапе у вас есть две силы: одна действует вдоль оси х, другая – вдоль оси у. Величина вектора силы является гипотенузой треугольника, образованного этими двумя проекциями. Для вычисления гипотенузы достаточно лишь задействовать теорему Пифагора: F рез = √ (F резx 2 + F резy 2).

• Пример: F резx = 7,68 Н, а F резy = 17,68 Н
• Подставим значения в уравнение и получим: F рез = √ (F резx 2 + F резy 2) = √ (7,68 2 + 17,68 2)
• Решение: F рез = √ (7,68 2 + 17,68 2) = √(58,98 + 35,36) = √94,34 = 9,71 Н.
• Сила, действующая под углом и вправо равна 9,71 Н.

Часто на тело действует одновременно не одна, а несколько сил. Рассмотрим случай, когда на тело оказывают воздействие две силы ( и ). Например, на тело, покоящееся на горизонтальной поверхности действуют сила тяжести () и реакция опоры поверхности () (рис.1).

Эти две силы можно заменить одной, которую называют равнодействующей силой (). Находят ее как векторную сумму сил и :

Определение равнодействующей двух сил

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Равнодействующей двух сил называют силу, которая производит на тело действие аналогичное, действию двух отдельных сил.

Отметим, что действие каждой силы не зависит от того, есть ли другие силы или их нет.

Второй закон Ньютона для равнодействующей двух сил

Если на тело действуют две силы, то второй закон Ньютона запишем как:

Направление равнодействующей всегда совпадает по направлению с направлением ускорения движения тела.

Это означает, что, если на тело оказывают воздействие две силы () в один и тот же момент времени, то ускорение () этого тела будет прямо пропорционально векторной сумме этих сил (или пропорционально равнодействующей сил):

M - масса, рассматриваемого тела. Суть второго закона Ньютона заключается в том, что силы, действующие на тело, определяют как изменяется скорость тела, а не просто величину скорости тела. Отмети, что второй закон Ньютона выполняется исключительно в инерциальных системах отсчета.

Равнодействующая двух сил может быть равна нулю, если силы, действующие на тело направлены в разные стороны и равны по модулю.

Нахождение величины равнодействующей двух сил

Для нахождения равнодействующей, следует изобразить на чертеже все силы, которые необходимо учитывать в задаче, действующие на тело. Складывать силы следует по правилам сложения векторов.

Допустим, что на тело действуют две силы, которые направлены по одной прямой (рис.1). Из рисунка видно, что они направлены в разные стороны.

Равнодействующая сил (), приложенных к телу, будет равна:

Для нахождения модуля равнодействующей сил выберем ось, обозначим ее X, направим вдоль направления действия сил. Тогда проектируя выражение (4) на ось X мы получим, что величина (модуль) равнодействующей (F) равен:

где - модули соответствующих сил.

Представим, что на тело действуют две силы и , направленные под некоторым углом друг к другу (рис.2). Равнодействующую этих сил находим по правилу параллелограмма. Величина равнодействующей будет равен длине диагонали этого параллелограмма.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Тело массой 2 кг перемещают вертикально за нить вверх, при этом его ускорение равно 1 Какова величина и направление равнодействующей силы? Какие силы приложены к телу?
Решение	К телу (рис.3) приложены сила тяжести () и сила реакции нити (). Равнодействующую указанных выше сил можно найти используя второй закон Ньютона: В проекции на ось X уравнение (1.1) принимает форму: Вычислим величину равнодействующей силы:
Ответ	Н, равнодействующая сила направлена так же как ускорение движения тела, то есть вертикально вверх. На тело действует две силы и .

Когда говорят о равнодействующей, то имеют в виду силу, которая равна действию двух или более сил, одновременно приложенных к телу .

Когда на тело действует несколько сил, то их совместный эффект может быть различным, он зависит как от направления разных сил, так и от их числовых значений. В любом случае всегда можно найти одну равнодействующую им силу.

Например, на батут положили кирпич. На кирпич действуют две силы - сила тяжести и сила упругости батута. В момент, когда кирпич только положили, сила тяжести была больше, чем сила упругости, и кирпич двигался вниз. Как только силы сравнялись, кирпич остановился.

Если бы кирпич не клали на батут, а бросили со всей силы сверху, то он бы двигался вниз не только под действием силы тяжести, но и переданной ему силы броска. Под действием этих двух сил батут бы прогнулся сильнее, так как сила упругости, которая уравновесит эти силы, должна быть больше.

Когда равновесие сил будет достигнуто, и движение остановится, то равновесие снова нарушится, так как на кирпич уже не будет действовать сила броска, а только силы тяжести и упругости. Но ведь сила упругости была достигнута не только за счет веса кирпича, но за счет силы броска. Поэтому сила упругости будет больше силы тяжести, и кирпич подпрыгнет, то есть начнет двигаться вверх.

В самых простых случаях рассматривают равнодействующую сил, направленных либо в одну сторону, либо противоположно.

Если две силы, действующие на тело, направлены в одну сторону, то равнодействующая им будет равна их сумме: F 1 + F 2 . Например, если тело толкают в одну сторону две силы в 10 Н и 20 Н, то равнодействующая сила этим двум будет равна 30 Н.

Если две силы, действующие на тело, направлены в противоположные стороны, то равнодействующая им равна модулю разности между силами и направлена в сторону большей: |F 1 – F 2 |. Например, если одна сила в 10 Н толкает тело влево, а другая сила в 15 Н - вправо, то тело будет двигаться вправо под действием силы в 5 Н (|10 – 15| = 5).

Когда силы направлены противоположно, но равны по численному значению, то равнодействующая им будет равна нулю. Это значит, что равнодействующая сила не оказывает никакого влияния на тело. Если тело находилось в покое, оно в нем и останется. Если тело двигалось прямолинейно и равномерно, оно так и продолжит двигаться. Таким образом, хотя две новые силы подействовали на тело, они «взаимно уничтожились».

Допустим, на тело действуют три силы, две из которых направлены в одну сторону, а третья в другую. В этом случае сначала надо найти равнодействующую двух сил, направленных в одну сторону, сложив их. Потом сравнить ее с третьей силой, чтобы определить в какую сторону будет направлена равнодействующая трех сил. И найти модуль разности между суммой первых двух и третьей: |F 1 + F 2 – F 3 |.

Игорь Бабин (спб) 14.05.2012 17:33

в условии написано,что нужно найти вес тела.

а в решении модуль силы тяжести.

Как вес может измеряться в Ньютонах.

В условии ошибка(

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Вы путаете понятия массы и веса. Весом тела называется сила (а потому вес измеряется в Ньютонах), с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Как следует из определения, эта сила приложена даже не к телу, а к опоре. Невесомость - это состояние, когда у тела пропадает не масса, а вес, то есть тело перестает давить на другие тела.

Согласен, в решении была допущена некоторая вольность в определениях, сейчас она поправлена.

Юрий Шойтов (Курск) 26.06.2012 21:20

Понятие "вес тела" введен в учебную физику крайне неудачно. Если в бытовом понятии вес обозначает массу то в школьной физике, как вы правильно заметили весом тела называется сила (а потому вес измеряется в Ньютонах), с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Заметим, что речь идет об одной опоре и об одной нити. Если опор или нитей несколько несколько, понятие веса исчезает.

Привожу пример. Пусть в жидкости на нити подвешено тело. Оно растягивает нить и давит на жидкость с силой равной минус сила Архимеда. Почему же, говоря о весе тела в жидкости, мы не складываем эти силы, как Вы делаете в своем решении?

Я зарегистрировался на Вашем сайте, но не заметил, что же изменилось в нашем общении. Прошу извинить мою тупость, но я, будучи человеком старым, недостаточно свободно ориентируюсь на сайте.

Алексей (Санкт-Петербург)

Добрый день!

Действительно, понятие веса тела весьма расплывчато, когда тело имеет несколько опор. Обычно вес в этом случае определяют как сумму взаимодействий со всеми опорами. При этом воздействие на газообразные и жидкие среды, как правило, исключается. Это как раз подпадает под описанный Вами пример, с подвешенным в воде грузиком.

Здесь сразу вспоминается детская задачка: "Что весит больше: килограмм пуха или килограмм свинца?" Если решать эту задачу по-честному, то нужно несомненно учитывать силу Архимеда. А под весом скорее всего мы будем понимать то, что нам будут показывать весы, то есть силу, с которой пух и свинец давят, скажем, на чашку весов. То есть здесь сила взаимодействие с воздухом как бы из понятия веса исключается.

С другой стороны, если считать, что мы откачали весь воздух и кладем на весы тело, к которому привязана веревочка. То сила тяжести будет уравновешиваться суммой силы реакции опоры и силой натяжения нити. Если мы понимаем вес как силу действия на опоры, препятствующие падению, то вес тут будет равен этой сумме силы растяжения нити и силы давления на чашку весов, то есть совпадать по величине с силой тяжести. Опять возникает вопрос: чем нитка лучше или хуже силы Архимеда?

В целом тут можно договориться до того, что понятие веса имеет смысл только в пустом пространстве, где есть только одна опора и тело. Как тут быть, это вопрос терминологии, которая, к сожалению, у каждого здесь своя, поскольку не столь уж это и важный вопрос:) И если силой Архимеда в воздухе во всех обычных случаях можно пренебречь, а значит, на величину веса она особо повлиять не может, то для тела в жидкости это уже критично.

Если уж быть совсем честным, то разделение сил на виды весьма условно. Представим себе ящик, который тащат по горизонтальной поверхности. Обычно говорят, что на ящик действуют две силы со стороны поверхности: сила реакции опоры, направленная вертикально, и сила трения, направленная горизонтально. Но ведь это две силы, действующие между одними и теми же телами, почему же мы просто не рисуем одну силу, являющуюся их векторной суммой (так, кстати, иногда и делается). Тут, это, наверное, вопрос удобства:)

Так что я немного в замешательстве, что делать с данной конкретной задачей. Проще всего, наверное, переформулировать ее и задавать вопрос про величину силы тяжести.

Не переживайте, все в порядке. При регистрации Вы должны были указать e-mail. Если теперь зайти на сайт под своим аккаунтом, то при попытке оставить комментарий в окне "Ваш e-mail" должен сразу появляться тот самый адрес. После этого система будет автоматически подписывать Ваши сообщения.